Precálculo Ejemplos

$\frac{5 i + 15}{2 i - 1}$

Paso 1

Multiplica el numerador y el denominador de $\frac{5 i + 15}{- 1 + 2 i}$ por el conjugado de $- 1 + 2 i$ para hacer real el denominador.

$\frac{5 i + 15}{- 1 + 2 i} \cdot \frac{- 1 - 2 i}{- 1 - 2 i}$

Paso 2

Multiplica.

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Paso 2.1

Combinar.

$\frac{(5 i + 15) (- 1 - 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Paso 2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1

Expande $(5 i + 15) (- 1 - 2 i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 i (- 1 - 2 i) + 15 (- 1 - 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Paso 2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 i \cdot - 1 + 5 i (- 2 i) + 15 (- 1 - 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Paso 2.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 i \cdot - 1 + 5 i (- 2 i) + 15 \cdot - 1 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Paso 2.2.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{- 5 i + 5 i (- 2 i) + 15 \cdot - 1 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Paso 2.2.2.1.2

Multiplica $5 i (- 2 i)$ .

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Paso 2.2.2.1.2.1

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$\frac{- 5 i - 10 i i + 15 \cdot - 1 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Paso 2.2.2.1.2.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 5 i - 10 (i^{1} i) + 15 \cdot - 1 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Paso 2.2.2.1.2.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 5 i - 10 (i^{1} i^{1}) + 15 \cdot - 1 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Paso 2.2.2.1.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 5 i - 10 i^{1 + 1} + 15 \cdot - 1 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Paso 2.2.2.1.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 5 i - 10 i^{2} + 15 \cdot - 1 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Paso 2.2.2.1.3

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{- 5 i - 10 \cdot - 1 + 15 \cdot - 1 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Paso 2.2.2.1.4

Multiplica $- 10$ por $- 1$ .

$\frac{- 5 i + 10 + 15 \cdot - 1 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Paso 2.2.2.1.5

Multiplica $15$ por $- 1$ .

$\frac{- 5 i + 10 - 15 + 15 (- 2 i)}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Paso 2.2.2.1.6

Multiplica $- 2$ por $15$ .

$\frac{- 5 i + 10 - 15 - 30 i}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Paso 2.2.2.2

Resta $30 i$ de $- 5 i$ .

$\frac{10 - 15 - 35 i}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Paso 2.2.2.3

Resta $15$ de $10$ .

$\frac{- 5 - 35 i}{(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)}$

Paso 2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 2.3.1

Expande $(- 1 + 2 i) (- 1 - 2 i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 5 - 35 i}{- 1 (- 1 - 2 i) + 2 i (- 1 - 2 i)}$

Paso 2.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 5 - 35 i}{- 1 \cdot - 1 - 1 (- 2 i) + 2 i (- 1 - 2 i)}$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 5 - 35 i}{- 1 \cdot - 1 - 1 (- 2 i) + 2 i \cdot - 1 + 2 i (- 2 i)}$

Paso 2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 5 - 35 i}{1 - 1 (- 2 i) + 2 i \cdot - 1 + 2 i (- 2 i)}$

Paso 2.3.2.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{- 5 - 35 i}{1 + 2 i + 2 i \cdot - 1 + 2 i (- 2 i)}$

Paso 2.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 5 - 35 i}{1 + 2 i - 2 i + 2 i (- 2 i)}$

Paso 2.3.2.4

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{- 5 - 35 i}{1 + 2 i - 2 i - 4 i i}$

Paso 2.3.2.5

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 5 - 35 i}{1 + 2 i - 2 i - 4 (i^{1} i)}$

Paso 2.3.2.6

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- 5 - 35 i}{1 + 2 i - 2 i - 4 (i^{1} i^{1})}$

Paso 2.3.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 5 - 35 i}{1 + 2 i - 2 i - 4 i^{1 + 1}}$

Paso 2.3.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- 5 - 35 i}{1 + 2 i - 2 i - 4 i^{2}}$

Paso 2.3.2.9

Resta $2 i$ de $2 i$ .

$\frac{- 5 - 35 i}{1 + 0 - 4 i^{2}}$

Paso 2.3.2.10

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{- 5 - 35 i}{1 - 4 i^{2}}$

Paso 2.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{- 5 - 35 i}{1 - 4 \cdot - 1}$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{- 5 - 35 i}{1 + 4}$

Paso 2.3.4

Suma $1$ y $4$ .

$\frac{- 5 - 35 i}{5}$

Paso 3

Cancela el factor común de $- 5 - 35 i$ y $5$ .

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Paso 3.1

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$\frac{5 \cdot - 1 - 35 i}{5}$

Paso 3.2

Factoriza $5$ de $- 35 i$ .

$\frac{5 \cdot - 1 + 5 (- 7 i)}{5}$

Paso 3.3

Factoriza $5$ de $5 (- 1) + 5 (- 7 i)$ .

$\frac{5 (- 1 - 7 i)}{5}$

Paso 3.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$\frac{5 (- 1 - 7 i)}{5 (1)}$

Paso 3.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 (- 1 - 7 i)}{5 \cdot 1}$

Paso 3.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 - 7 i}{1}$

Paso 3.4.4

Divide $- 1 - 7 i$ por $1$ .

$- 1 - 7 i$

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