Precálculo Ejemplos

$(0, 3)$ , $(4, 9)$ , $(- 4, 3)$

Paso 1

Usa la ecuación ordinaria de una ecuación cuadrática $y = a x^{2} + b x + c$ como el punto inicial para obtener la ecuación a través de los tres puntos.

$y = a x^{2} + b x + c$

Paso 2

Crea un sistema de ecuaciones mediante la sustitución de los valores $x$ y $y$ de cada punto en la fórmula estándar de una ecuación cuadrática para crear el sistema de tres ecuaciones.

$3 = a {(0)}^{2} + b (0) + c, 9 = a {(4)}^{2} + b (4) + c, 3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

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Paso 3.1

Resuelve $c$ en $3 = a \cdot 0^{2} + c$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $a \cdot 0^{2} + c = 3$ .

$a \cdot 0^{2} + c = 3$

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

Paso 3.1.2

Simplifica $a \cdot 0^{2} + c$ .

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$a \cdot 0 + c = 3$

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

Paso 3.1.2.1.2

Multiplica $a$ por $0$ .

$0 + c = 3$

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

$0 + c = 3$

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

Paso 3.1.2.2

Suma $0$ y $c$ .

$c = 3$

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

$c = 3$

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

$c = 3$

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $c$ por $3$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $c$ en $9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$ por $3$ .

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + 3$

$c = 3$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

Paso 3.2.2

Simplifica $9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + 3$ .

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Paso 3.2.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1.1

Elimina los paréntesis.

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + 3$

$c = 3$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

$9 = a \cdot 4^{2} + b (4) + 3$

$c = 3$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

Paso 3.2.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$9 = a \cdot 16 + b (4) + 3$

$c = 3$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

Paso 3.2.2.2.1.2

Mueve $16$ a la izquierda de $a$ .

$9 = 16 \cdot a + b (4) + 3$

$c = 3$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

Paso 3.2.2.2.1.3

Mueve $4$ a la izquierda de $b$ .

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $c$ en $3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + c$ por $3$ .

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + 3$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

Paso 3.2.4

Simplifica $3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + 3$ .

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Paso 3.2.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.4.1.1

Elimina los paréntesis.

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + 3$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$3 = a {(- 4)}^{2} + b (- 4) + 3$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

Paso 3.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.4.2.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$3 = a \cdot 16 + b (- 4) + 3$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

Paso 3.2.4.2.1.2

Mueve $16$ a la izquierda de $a$ .

$3 = 16 \cdot a + b (- 4) + 3$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

Paso 3.2.4.2.1.3

Mueve $- 4$ a la izquierda de $b$ .

$3 = 16 a - 4 b + 3$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$3 = 16 a - 4 b + 3$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$3 = 16 a - 4 b + 3$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$3 = 16 a - 4 b + 3$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$3 = 16 a - 4 b + 3$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

Paso 3.3

Resuelve $a$ en $3 = 16 a - 4 b + 3$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $16 a - 4 b + 3 = 3$ .

$16 a - 4 b + 3 = 3$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $a$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $4 b$ a ambos lados de la ecuación.

$16 a + 3 = 3 + 4 b$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

Paso 3.3.2.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$16 a = 3 + 4 b - 3$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

Paso 3.3.2.3

Combina los términos opuestos en $3 + 4 b - 3$ .

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Paso 3.3.2.3.1

Resta $3$ de $3$ .

$16 a = 4 b + 0$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

Paso 3.3.2.3.2

Suma $4 b$ y $0$ .

$16 a = 4 b$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$16 a = 4 b$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$16 a = 4 b$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $16 a = 4 b$ por $16$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $16 a = 4 b$ por $16$ .

$\frac{16 a}{16} = \frac{4 b}{16}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{16 a}{16} = \frac{4 b}{16}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

Paso 3.3.3.2.1.2

Divide $a$ por $1$ .

$a = \frac{4 b}{16}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$a = \frac{4 b}{16}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$a = \frac{4 b}{16}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.3.1

Cancela el factor común de $4$ y $16$ .

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Paso 3.3.3.3.1.1

Factoriza $4$ de $4 b$ .

$a = \frac{4 (b)}{16}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

Paso 3.3.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.3.3.1.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$a = \frac{4 b}{4 \cdot 4}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

Paso 3.3.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$a = \frac{4 b}{4 \cdot 4}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

Paso 3.3.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$a = \frac{b}{4}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$a = \frac{b}{4}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$a = \frac{b}{4}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$a = \frac{b}{4}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$a = \frac{b}{4}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

$a = \frac{b}{4}$

$9 = 16 a + 4 b + 3$

$c = 3$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $a$ por $\frac{b}{4}$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $a$ en $9 = 16 a + 4 b + 3$ por $\frac{b}{4}$ .

$9 = 16 (\frac{b}{4}) + 4 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica $16 (\frac{b}{4}) + 4 b + 3$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.4.2.1.1.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$9 = 4 (4) (\frac{b}{4}) + 4 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Paso 3.4.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$9 = 4 \cdot (4 (\frac{b}{4})) + 4 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Paso 3.4.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$9 = 4 b + 4 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$9 = 4 b + 4 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Paso 3.4.2.1.2

Suma $4 b$ y $4 b$ .

$9 = 8 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$9 = 8 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$9 = 8 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$9 = 8 b + 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Paso 3.5

Resuelve $b$ en $9 = 8 b + 3$ .

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $8 b + 3 = 9$ .

$8 b + 3 = 9$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Paso 3.5.2

Mueve todos los términos que no contengan $b$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.5.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$8 b = 9 - 3$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Paso 3.5.2.2

Resta $3$ de $9$ .

$8 b = 6$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$8 b = 6$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Paso 3.5.3

Divide cada término en $8 b = 6$ por $8$ y simplifica.

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Paso 3.5.3.1

Divide cada término en $8 b = 6$ por $8$ .

$\frac{8 b}{8} = \frac{6}{8}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Paso 3.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.3.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 3.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 b}{8} = \frac{6}{8}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Paso 3.5.3.2.1.2

Divide $b$ por $1$ .

$b = \frac{6}{8}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$b = \frac{6}{8}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$b = \frac{6}{8}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Paso 3.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.3.1

Cancela el factor común de $6$ y $8$ .

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Paso 3.5.3.3.1.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$b = \frac{2 (3)}{8}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Paso 3.5.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.3.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$b = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Paso 3.5.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$b = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Paso 3.5.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$b = \frac{3}{4}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$b = \frac{3}{4}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$b = \frac{3}{4}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$b = \frac{3}{4}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$b = \frac{3}{4}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

$b = \frac{3}{4}$

$a = \frac{b}{4}$

$c = 3$

Paso 3.6

Reemplaza todos los casos de $b$ por $\frac{3}{4}$ en cada ecuación.

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Paso 3.6.1

Reemplaza todos los casos de $b$ en $a = \frac{b}{4}$ por $\frac{3}{4}$ .

$a = \frac{\frac{3}{4}}{4}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 3$

Paso 3.6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.2.1

Simplifica $\frac{\frac{3}{4}}{4}$ .

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Paso 3.6.2.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$a = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 3$

Paso 3.6.2.1.2

Multiplica $\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Paso 3.6.2.1.2.1

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$a = \frac{3}{4 \cdot 4}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 3$

Paso 3.6.2.1.2.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$a = \frac{3}{16}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 3$

$a = \frac{3}{16}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 3$

$a = \frac{3}{16}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 3$

$a = \frac{3}{16}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 3$

$a = \frac{3}{16}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 3$

Paso 3.7

Enumera todas las soluciones.

$a = \frac{3}{16}, b = \frac{3}{4}, c = 3$

Paso 4

Sustituye los valores reales de $a$ , $b$ y $c$ en la fórmula para una ecuación cuadrática a fin de obtener la ecuación resultante.

$y = \frac{3 x^{2}}{16} + \frac{3 x}{4} + 3$

Paso 5

Ingresa TU problema