Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{10^{x}} + 4$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{1}{10^{x}} + 4$ no está definida.

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 2

Las asíntotas verticales ocurren en áreas de discontinuidad infinita.

No hay asíntotas verticales

Paso 3

Evalúa $lim_{x \to \infty} \frac{1 + 4 \cdot 10^{x}}{10^{x}}$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 3.1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + 4 \cdot 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Paso 3.1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 3.1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 3.1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} 4 \cdot 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Paso 3.1.1.2.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} 4 \cdot 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Paso 3.1.1.2.2

Como la función $10^{x}$ se acerca a $\infty$ , la constante positiva $4$ veces la función también se acerca a $\infty$ .

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Paso 3.1.1.2.2.1

Considera el límite con el múltiplo constante $4$ eliminado.

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Paso 3.1.1.2.2.2

Como el exponente $x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $10^{x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{1 + \infty}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Paso 3.1.1.2.3

Infinito más o menos un número es infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Paso 3.1.1.3

Como el exponente $x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $10^{x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 3.1.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 3.1.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + 4 \cdot 10^{x}}{10^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 + 4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Paso 3.1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 + 4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Paso 3.1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 4 \cdot 10^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Paso 3.1.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Paso 3.1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]$ .

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Paso 3.1.3.4.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 \cdot 10^{x}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [10^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 4 \frac{d}{d x} [10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Paso 3.1.3.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $10$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Paso 3.1.3.5

Suma $0$ y $4 \cdot 10^{x} \ln (10)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Paso 3.1.3.6

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $10$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{10^{x} \ln (10)}$

Paso 3.1.4

Reduce.

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Paso 3.1.4.1

Cancela el factor común de $10^{x}$ .

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Paso 3.1.4.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{10^{x} \ln (10)}$

Paso 3.1.4.1.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \ln (10)}{\ln (10)}$

Paso 3.1.4.2

Cancela el factor común de $\ln (10)$ .

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Paso 3.1.4.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \ln (10)}{\ln (10)}$

Paso 3.1.4.2.2

Divide $4$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} 4$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$4$

Paso 4

Enumera las asíntotas horizontales:

$y = 4$

Paso 5

No hay ninguna asíntota oblicua porque el grado del numerador es menor o igual que el grado del denominador.

No hay asíntotas oblicuas

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

No hay asíntotas verticales

Asíntotas horizontales: $y = 4$

No hay asíntotas oblicuas

Paso 7

Ingresa TU problema