Precálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x^{2} - 5$

Paso 1

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ .

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Paso 1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 3$

Paso 1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 5, \pm \frac{5}{3}$

Paso 2

Aplica la regla de división sintética en $\frac{3 x^{2} - 5}{x - 5}$ cuando $x = 5$ .

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Paso 2.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$5$	$3$	$0$	$- 5$

Paso 2.2

El primer número en el dividendo $(3)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$5$	$3$	$0$	$- 5$

	$3$

Paso 2.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(3)$ por el divisor $(5)$ y coloca el resultado de $(15)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$5$	$3$	$0$	$- 5$
		$15$
	$3$

Paso 2.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$5$	$3$	$0$	$- 5$
		$15$
	$3$	$15$

Paso 2.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(15)$ por el divisor $(5)$ y coloca el resultado de $(75)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 5)$ .

$5$	$3$	$0$	$- 5$
		$15$	$75$
	$3$	$15$

Paso 2.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$5$	$3$	$0$	$- 5$
		$15$	$75$
	$3$	$15$	$70$

Paso 2.7

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$(3) x + 15 + \frac{70}{x - 5}$

Paso 2.8

Simplifica el polinomio del cociente.

$3 x + 15 + \frac{70}{x - 5}$

Paso 3

Como $5 > 0$ y todos los signos en la fila inferior de la división sintética son positivos, $5$ es una cota superior para las raíces reales de la función.

Cota superior: $5$

Paso 4

Aplica la regla de división sintética en $\frac{3 x^{2} - 5}{x + 5}$ cuando $x = - 5$ .

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Paso 4.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 5$	$3$	$0$	$- 5$

Paso 4.2

El primer número en el dividendo $(3)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 5$	$3$	$0$	$- 5$

	$3$

Paso 4.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(3)$ por el divisor $(- 5)$ y coloca el resultado de $(- 15)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$- 5$	$3$	$0$	$- 5$
		$- 15$
	$3$

Paso 4.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 5$	$3$	$0$	$- 5$
		$- 15$
	$3$	$- 15$

Paso 4.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 15)$ por el divisor $(- 5)$ y coloca el resultado de $(75)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 5)$ .

$- 5$	$3$	$0$	$- 5$
		$- 15$	$75$
	$3$	$- 15$

Paso 4.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 5$	$3$	$0$	$- 5$
		$- 15$	$75$
	$3$	$- 15$	$70$

Paso 4.7

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$(3) x - 15 + \frac{70}{x + 5}$

Paso 4.8

Simplifica el polinomio del cociente.

$3 x - 15 + \frac{70}{x + 5}$

Paso 5

Como $- 5 < 0$ y los signos en la fila inferior del signo alternativo de la división sintética, $- 5$ es una cota inferior para las raíces reales de la función.

Cota inferior: $- 5$

Paso 6

Aplica la regla de división sintética en $\frac{3 x^{2} - 5}{x - \frac{5}{3}}$ cuando $x = \frac{5}{3}$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$\frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(3)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$\frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$

	$3$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(3)$ por el divisor $(\frac{5}{3})$ y coloca el resultado de $(5)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$\frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$
		$5$
	$3$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$
		$5$
	$3$	$5$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(5)$ por el divisor $(\frac{5}{3})$ y coloca el resultado de $(\frac{25}{3})$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 5)$ .

$\frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$
		$5$	$\frac{25}{3}$
	$3$	$5$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$
		$5$	$\frac{25}{3}$
	$3$	$5$	$\frac{10}{3}$

Paso 6.7

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$(3) x + 5 + \frac{\frac{10}{3}}{x - \frac{5}{3}}$

Paso 6.8

Simplifica el polinomio del cociente.

$3 x + 5 + \frac{10}{3 x - 5}$

Paso 7

Como $\frac{5}{3} > 0$ y todos los signos en la fila inferior de la división sintética son positivos, $\frac{5}{3}$ es una cota superior para las raíces reales de la función.

Cota superior: $\frac{5}{3}$

Paso 8

Aplica la regla de división sintética en $\frac{3 x^{2} - 5}{x + \frac{5}{3}}$ cuando $x = - \frac{5}{3}$ .

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Paso 8.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- \frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$

Paso 8.2

El primer número en el dividendo $(3)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- \frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$

	$3$

Paso 8.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(3)$ por el divisor $(- \frac{5}{3})$ y coloca el resultado de $(- 5)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$- \frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$
		$- 5$
	$3$

Paso 8.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$
		$- 5$
	$3$	$- 5$

Paso 8.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 5)$ por el divisor $(- \frac{5}{3})$ y coloca el resultado de $(\frac{25}{3})$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 5)$ .

$- \frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$
		$- 5$	$\frac{25}{3}$
	$3$	$- 5$

Paso 8.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{5}{3}$	$3$	$0$	$- 5$
		$- 5$	$\frac{25}{3}$
	$3$	$- 5$	$\frac{10}{3}$

Paso 8.7

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$(3) x - 5 + \frac{\frac{10}{3}}{x + \frac{5}{3}}$

Paso 8.8

Simplifica el polinomio del cociente.

$3 x - 5 + \frac{10}{3 x + 5}$

Paso 9

Como $- \frac{5}{3} < 0$ y los signos en la fila inferior del signo alternativo de la división sintética, $- \frac{5}{3}$ es una cota inferior para las raíces reales de la función.

Cota inferior: $- \frac{5}{3}$

Paso 10

Determina los límites superior e inferior.

Cotas superiores: $5, \frac{5}{3}$

Cotas inferiores: $- 5, - \frac{5}{3}$

Paso 11

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