Ejemplos

$f (x) = 7 x^{2} + 5 x - 4$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = 7 {(x + h)}^{2} + 5 (x + h) - 4$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

Reescribe ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 7 ((x + h) (x + h)) + 5 (x + h) - 4$

Paso 2.1.2.1.2

Expande $(x + h) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 7 (x (x + h) + h (x + h)) + 5 (x + h) - 4$

Paso 2.1.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 7 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 5 (x + h) - 4$

Paso 2.1.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 7 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 5 (x + h) - 4$

Paso 2.1.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x + h) = 7 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 5 (x + h) - 4$

Paso 2.1.2.1.3.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$f (x + h) = 7 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 5 (x + h) - 4$

Paso 2.1.2.1.3.2

Suma $x h$ y $h x$ .

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Paso 2.1.2.1.3.2.1

Reordena $x$ y $h$ .

$f (x + h) = 7 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 5 (x + h) - 4$

Paso 2.1.2.1.3.2.2

Suma $h x$ y $h x$ .

$f (x + h) = 7 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 5 (x + h) - 4$

Paso 2.1.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 7 x^{2} + 7 (2 h x) + 7 h^{2} + 5 (x + h) - 4$

Paso 2.1.2.1.5

Multiplica $2$ por $7$ .

$f (x + h) = 7 x^{2} + 14 (h x) + 7 h^{2} + 5 (x + h) - 4$

Paso 2.1.2.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 5 x + 5 h - 4$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 5 x + 5 h - 4$ .

$7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 5 x + 5 h - 4$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Mueve $5 x$ .

$7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 5 h + 5 x - 4$

Paso 2.2.2

Mueve $7 x^{2}$ .

$14 h x + 7 h^{2} + 7 x^{2} + 5 h + 5 x - 4$

Paso 2.2.3

Reordena $14 h x$ y $7 h^{2}$ .

$7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 5 h + 5 x - 4$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 5 h + 5 x - 4$

$f (x) = 7 x^{2} + 5 x - 4$

$f (x + h) = 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 5 h + 5 x - 4$

$f (x) = 7 x^{2} + 5 x - 4$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 5 h + 5 x - 4 - (7 x^{2} + 5 x - 4)}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 5 h + 5 x - 4 - (7 x^{2}) - (5 x) - - 4}{h}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$\frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 5 h + 5 x - 4 - 7 x^{2} - (5 x) - - 4}{h}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 5 h + 5 x - 4 - 7 x^{2} - 5 x - - 4}{h}$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 5 h + 5 x - 4 - 7 x^{2} - 5 x + 4}{h}$

Paso 4.1.3

Resta $7 x^{2}$ de $7 x^{2}$ .

$\frac{7 h^{2} + 14 h x + 5 h + 5 x - 4 + 0 - 5 x + 4}{h}$

Paso 4.1.4

Suma $7 h^{2}$ y $0$ .

$\frac{7 h^{2} + 14 h x + 5 h + 5 x - 4 - 5 x + 4}{h}$

Paso 4.1.5

Resta $5 x$ de $5 x$ .

$\frac{7 h^{2} + 14 h x + 5 h + 0 - 4 + 4}{h}$

Paso 4.1.6

Suma $7 h^{2}$ y $0$ .

$\frac{7 h^{2} + 14 h x + 5 h - 4 + 4}{h}$

Paso 4.1.7

Suma $- 4$ y $4$ .

$\frac{7 h^{2} + 14 h x + 5 h + 0}{h}$

Paso 4.1.8

Suma $7 h^{2} + 14 h x + 5 h$ y $0$ .

$\frac{7 h^{2} + 14 h x + 5 h}{h}$

Paso 4.1.9

Factoriza $h$ de $7 h^{2} + 14 h x + 5 h$ .

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Paso 4.1.9.1

Factoriza $h$ de $7 h^{2}$ .

$\frac{h (7 h) + 14 h x + 5 h}{h}$

Paso 4.1.9.2

Factoriza $h$ de $14 h x$ .

$\frac{h (7 h) + h (14 x) + 5 h}{h}$

Paso 4.1.9.3

Factoriza $h$ de $5 h$ .

$\frac{h (7 h) + h (14 x) + h \cdot 5}{h}$

Paso 4.1.9.4

Factoriza $h$ de $h (7 h) + h (14 x)$ .

$\frac{h (7 h + 14 x) + h \cdot 5}{h}$

Paso 4.1.9.5

Factoriza $h$ de $h (7 h + 14 x) + h \cdot 5$ .

$\frac{h (7 h + 14 x + 5)}{h}$

Paso 4.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{h (7 h + 14 x + 5)}{h}$

Paso 4.2.1.2

Divide $7 h + 14 x + 5$ por $1$ .

$7 h + 14 x + 5$

Paso 4.2.2

Reordena $7 h$ y $14 x$ .

$14 x + 7 h + 5$

Paso 5

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