Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}]$

Paso 1

La nulidad es la dimensión del espacio nulo, que es igual a la cantidad de variables en el sistema luego de la reducción de fila. Las variables libres son las columnas sin posiciones de pivote.

Paso 2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 2.1

Multiplica cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{3}$ para hacer que la entrada en $1, 1$ sea $1$ .

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Paso 2.1.1

Multiplica cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{3}$ para hacer que la entrada en $1, 1$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{2}{3} \\ 4 & 6 \end{array}]$

Paso 2.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 4 & 6 \end{array}]$

Paso 2.2

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

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Paso 2.2.1

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 4 - 4 \cdot 1 & 6 - 4 (\frac{2}{3}) \end{array}]$

Paso 2.2.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 0 & \frac{10}{3} \end{array}]$

Paso 2.3

Multiplica cada elemento de $R_{2}$ por $\frac{3}{10}$ para hacer que la entrada en $2, 2$ sea $1$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica cada elemento de $R_{2}$ por $\frac{3}{10}$ para hacer que la entrada en $2, 2$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ \frac{3}{10} \cdot 0 & \frac{3}{10} \cdot \frac{10}{3} \end{array}]$

Paso 2.3.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 0 & 1 \end{array}]$

Paso 2.4

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{3} R_{2}$ para hacer que la entrada en $1, 2$ sea $0$ .

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Paso 2.4.1

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{3} R_{2}$ para hacer que la entrada en $1, 2$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Paso 2.4.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3

Las posiciones de pivote son las ubicaciones con el $1$ principal en cada fila. Las columnas pivote son las columnas que tienen una posición de pivote.

Posiciones de pivote: $a_{11}$ y $a_{22}$

Columnas pivote: $1$ y $2$

Paso 4

La nulidad es el número de columnas sin una posición de pivote en la matriz reducida de la fila.

$0$

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