Álgebra lineal Ejemplos

$x + y + 5 z = - 3$ , $x + 2 y - 2 z = 3$ , $4 x + 11 y + k z = 31$

Paso 1

Escribe el sistema de ecuaciones en forma de matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 5 & - 3 \\ 1 & 2 & - 2 & 3 \\ 4 & 11 & k & 31 \end{array}]$

Paso 2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 2.1

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

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Paso 2.1.1

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ para hacer que la entrada en $2, 1$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 5 & - 3 \\ 1 - 1 & 2 - 1 & - 2 - 5 & 3 + 3 \\ 4 & 11 & k & 31 \end{array}]$

Paso 2.1.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 5 & - 3 \\ 0 & 1 & - 7 & 6 \\ 4 & 11 & k & 31 \end{array}]$

Paso 2.2

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ para hacer que la entrada en $3, 1$ sea $0$ .

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Paso 2.2.1

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ para hacer que la entrada en $3, 1$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 5 & - 3 \\ 0 & 1 & - 7 & 6 \\ 4 - 4 \cdot 1 & 11 - 4 \cdot 1 & k - 4 \cdot 5 & 31 - 4 \cdot - 3 \end{array}]$

Paso 2.2.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 5 & - 3 \\ 0 & 1 & - 7 & 6 \\ 0 & 7 & k - 20 & 43 \end{array}]$

Paso 2.3

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} - 7 R_{2}$ para hacer que la entrada en $3, 2$ sea $0$ .

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Paso 2.3.1

Realiza la operación de fila $R_{3} = R_{3} - 7 R_{2}$ para hacer que la entrada en $3, 2$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 5 & - 3 \\ 0 & 1 & - 7 & 6 \\ 0 - 7 \cdot 0 & 7 - 7 \cdot 1 & k - 20 - 7 \cdot - 7 & 43 - 7 \cdot 6 \end{array}]$

Paso 2.3.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 5 & - 3 \\ 0 & 1 & - 7 & 6 \\ 0 & 0 & k + 29 & 1 \end{array}]$

Paso 2.4

Multiplica cada elemento de $R_{3}$ por $\frac{1}{k + 29}$ para hacer que la entrada en $3, 3$ sea $1$ .

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Paso 2.4.1

Multiplica cada elemento de $R_{3}$ por $\frac{1}{k + 29}$ para hacer que la entrada en $3, 3$ sea $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 5 & - 3 \\ 0 & 1 & - 7 & 6 \\ \frac{0}{k + 29} & \frac{0}{k + 29} & \frac{k + 29}{k + 29} & \frac{1}{k + 29} \end{array}]$

Paso 2.4.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 5 & - 3 \\ 0 & 1 & - 7 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 29} \end{array}]$

Paso 2.5

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} + 7 R_{3}$ para hacer que la entrada en $2, 3$ sea $0$ .

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Paso 2.5.1

Realiza la operación de fila $R_{2} = R_{2} + 7 R_{3}$ para hacer que la entrada en $2, 3$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 5 & - 3 \\ 0 + 7 \cdot 0 & 1 + 7 \cdot 0 & - 7 + 7 \cdot 1 & 6 + 7 \frac{1}{k + 29} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 29} \end{array}]$

Paso 2.5.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 5 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{6 k + 181}{k + 29} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 29} \end{array}]$

Paso 2.6

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} - 5 R_{3}$ para hacer que la entrada en $1, 3$ sea $0$ .

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Paso 2.6.1

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} - 5 R_{3}$ para hacer que la entrada en $1, 3$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 5 \cdot 0 & 1 - 5 \cdot 0 & 5 - 5 \cdot 1 & - 3 - 5 \frac{1}{k + 29} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{6 k + 181}{k + 29} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 29} \end{array}]$

Paso 2.6.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & - \frac{3 k + 92}{k + 29} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{6 k + 181}{k + 29} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 29} \end{array}]$

Paso 2.7

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ para hacer que la entrada en $1, 2$ sea $0$ .

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Paso 2.7.1

Realiza la operación de fila $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ para hacer que la entrada en $1, 2$ sea $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & - \frac{3 k + 92}{k + 29} - \frac{6 k + 181}{k + 29} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{6 k + 181}{k + 29} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 29} \end{array}]$

Paso 2.7.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{3 (3 k + 91)}{k + 29} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{6 k + 181}{k + 29} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 29} \end{array}]$

Paso 3

Como $\frac{1}{k + 29}$ está indefinida cuando $k = - 29$ , entonces $k = - 29$ hace que el sistema no tenga solución.

$k = - 29$

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