Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}]$

Paso 1

Obtén los valores propios.

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Paso 1.1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Paso 1.2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño $2$ es la matriz cuadrada $2 \times 2$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Paso 1.3

Sustituye los valores conocidos en $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - λ I_{2})$

Paso 1.3.2

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{2}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.1

Multiplica $- λ$ por cada elemento de la matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 1.4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.2

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.2.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.3

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.3.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Paso 1.4.2

Suma los elementos correspondientes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3

Simplify each element.

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Paso 1.4.3.1

Suma $2$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.2

Suma $3$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 1.5

Find the determinant.

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Paso 1.5.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - λ) - 3 \cdot 2$

Paso 1.5.2

Simplifica el determinante.

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Paso 1.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.2.1.1

Expande $(1 - λ) (4 - λ)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 1 (4 - λ) - λ (4 - λ) - 3 \cdot 2$

Paso 1.5.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 1 \cdot 4 + 1 (- λ) - λ (4 - λ) - 3 \cdot 2$

Paso 1.5.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 1 \cdot 4 + 1 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Paso 1.5.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.5.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.2.1.2.1.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$p (λ) = 4 + 1 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Paso 1.5.2.1.2.1.2

Multiplica $- λ$ por $1$ .

$p (λ) = 4 - λ - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Paso 1.5.2.1.2.1.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Paso 1.5.2.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2$

Paso 1.5.2.1.2.1.5

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.2.1.2.1.5.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2$

Paso 1.5.2.1.2.1.5.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Paso 1.5.2.1.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Paso 1.5.2.1.2.1.7

Multiplica $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = 4 - λ - 4 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Paso 1.5.2.1.2.2

Resta $4 λ$ de $- λ$ .

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Paso 1.5.2.1.3

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 6$

Paso 1.5.2.2

Resta $6$ de $4$ .

$p (λ) = - 5 λ + λ^{2} - 2$

Paso 1.5.2.3

Reordena $- 5 λ$ y $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2$

Paso 1.6

Establece el polinomio característico igual a $0$ para obtener los valores propios $λ$ .

$λ^{2} - 5 λ - 2 = 0$

Paso 1.7

Resuelve $λ$

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Paso 1.7.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.7.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 5$ y $c = - 2$ en la fórmula cuadrática y resuelve $λ$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.7.3

Simplifica.

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Paso 1.7.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.3.1.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.7.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Paso 1.7.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.7.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.7.3.1.3

Suma $25$ y $8$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.7.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$

Paso 1.7.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

Paso 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Paso 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

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Paso 3.1

Sustituye los valores conocidos en la fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Multiplica $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 3.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.2

Multiplica $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

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Paso 3.2.1.2.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.2.2

Multiplica $0$ por $\frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.3

Multiplica $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

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Paso 3.2.1.2.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.3.2

Multiplica $0$ por $\frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.2

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3

Simplify each element.

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Paso 3.2.3.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - (5 + \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 1 \cdot 5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.3.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.3.3

Resta $5$ de $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 3 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.5

Factoriza $- 1$ de $- \sqrt{33}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - (\sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (3) - (\sqrt{33})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3 + \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.8

Suma $2$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.9

Suma $3$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.10

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.11

Combina $4$ y $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{4 \cdot 2 - (5 + \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.13

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.3.13.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - (5 + \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.13.2

Aplica la propiedad distributiva.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 1 \cdot 5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.13.3

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 3.2.3.13.4

Resta $5$ de $8$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 3.3

Find the null space when $λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

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Paso 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 & 0 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{3 + \sqrt{33}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{3 + \sqrt{33}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3 + \sqrt{33}} (- \frac{3 + \sqrt{33}}{2}) & - \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot 2 & - \frac{2}{3 + \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} - 3 \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.2.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{3 - \sqrt{33}}{6} y = 0$

$0 = 0$

Paso 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{y}{2} + \frac{\sqrt{33} y}{6} \\ y \end{array}]$

Paso 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]$

Paso 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Paso 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Paso 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

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Paso 4.1

Sustituye los valores conocidos en la fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $- \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 4.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.2

Multiplica $- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

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Paso 4.2.1.2.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.2.2

Multiplica $0$ por $\frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.3

Multiplica $- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

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Paso 4.2.1.2.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.3.2

Multiplica $0$ por $\frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.2

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3

Simplify each element.

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Paso 4.2.3.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - (5 - \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 1 \cdot 5 - - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.3.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 - - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.3.3

Multiplica $- - \sqrt{33}$ .

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Paso 4.2.3.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 + 1 \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.3.3.2

Multiplica $\sqrt{33}$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.3.4

Resta $5$ de $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 3 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.5

Factoriza $- 1$ de $\sqrt{33}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3) - 1 (- \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{33})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (3 - \sqrt{33})}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.8

Suma $2$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.9

Suma $3$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.10

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.11

Combina $4$ y $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{4 \cdot 2 - (5 - \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.13

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.3.13.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - (5 - \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.13.2

Aplica la propiedad distributiva.

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 1 \cdot 5 - - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.13.3

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 - - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.13.4

Multiplica $- - \sqrt{33}$ .

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Paso 4.2.3.13.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 + 1 \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.13.4.2

Multiplica $\sqrt{33}$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{8 - 5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.2.3.13.5

Resta $5$ de $8$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Paso 4.3

Find the null space when $λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

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Paso 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 & 0 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{3 - \sqrt{33}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{3 - \sqrt{33}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3 - \sqrt{33}} (- \frac{3 - \sqrt{33}}{2}) & - \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot 2 & - \frac{2}{3 - \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Paso 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} - 3 \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.2.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{33}}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{3 + \sqrt{33}}{6} y = 0$

$0 = 0$

Paso 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{y}{2} - \frac{\sqrt{33} y}{6} \\ y \end{array}]$

Paso 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]$

Paso 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Paso 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Paso 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

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