Ejemplos

$y = 2 x^{2} - 12 x + 9$

Paso 1

Inserta $0$ en $y$ .

$0 = 2 x^{2} - 12 x + 9$

Paso 2

Simplifica la ecuación en una forma adecuada para completar el cuadrado.

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Paso 2.1

Elimina los paréntesis.

$0 = 2 x^{2} - 12 x + 9$

Paso 2.2

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$2 x^{2} - 12 x + 9 = 0$

Paso 2.3

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} - 12 x = - 9$

Paso 3

Divide cada término en $2 x^{2} - 12 x = - 9$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.1

Divide cada término en $2 x^{2} - 12 x = - 9$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{- 12 x}{2} = \frac{- 9}{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{- 12 x}{2} = \frac{- 9}{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{- 12 x}{2} = \frac{- 9}{2}$

Paso 3.2.1.2

Cancela el factor común de $- 12$ y $2$ .

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Paso 3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 12 x$ .

$x^{2} + \frac{2 (- 6 x)}{2} = \frac{- 9}{2}$

Paso 3.2.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.1.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$x^{2} + \frac{2 (- 6 x)}{2 (1)} = \frac{- 9}{2}$

Paso 3.2.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} + \frac{2 (- 6 x)}{2 \cdot 1} = \frac{- 9}{2}$

Paso 3.2.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} + \frac{- 6 x}{1} = \frac{- 9}{2}$

Paso 3.2.1.2.2.4

Divide $- 6 x$ por $1$ .

$x^{2} - 6 x = \frac{- 9}{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} - 6 x = - \frac{9}{2}$

Paso 4

Para crear un trinomio cuadrado en el lado izquierdo de la ecuación, obtén un valor que sea igual al cuadrado de la mitad de $b$ .

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Paso 5

Suma el término a cada lado de la ecuación.

$x^{2} - 6 x + {(- 3)}^{2} = - \frac{9}{2} + {(- 3)}^{2}$

Paso 6

Simplifica la ecuación.

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Paso 6.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = - \frac{9}{2} + {(- 3)}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1

Simplifica $- \frac{9}{2} + {(- 3)}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = - \frac{9}{2} + 9$

Paso 6.2.1.2

Para escribir $9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = - \frac{9}{2} + 9 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 6.2.1.3

Combina $9$ y $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = - \frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2}{2}$

Paso 6.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{2} - 6 x + 9 = \frac{- 9 + 9 \cdot 2}{2}$

Paso 6.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.5.1

Multiplica $9$ por $2$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = \frac{- 9 + 18}{2}$

Paso 6.2.1.5.2

Suma $- 9$ y $18$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = \frac{9}{2}$

Paso 7

Factoriza el cuadrado trinomio perfecto en ${(x - 3)}^{2}$ .

${(x - 3)}^{2} = \frac{9}{2}$

Paso 8

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 8.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x - 3 = \pm \sqrt{\frac{9}{2}}$

Paso 8.2

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{9}{2}}$ .

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Paso 8.2.1

Reescribe $\sqrt{\frac{9}{2}}$ como $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$ .

$x - 3 = \pm \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x - 3 = \pm \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{2}}$

Paso 8.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x - 3 = \pm \frac{3}{\sqrt{2}}$

Paso 8.2.3

Multiplica $\frac{3}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x - 3 = \pm \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 8.2.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 8.2.4.1

Multiplica $\frac{3}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 8.2.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 8.2.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 8.2.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 8.2.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 8.2.4.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 8.2.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 8.2.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 8.2.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.2.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.2.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 8.2.4.6.5

Evalúa el exponente.

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Paso 8.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 8.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x - 3 = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Paso 8.3.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3$

Paso 8.3.3

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x - 3 = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Paso 8.3.4

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3$

Paso 8.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3, - \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3, - \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3$

Forma decimal:

$x = 5.12132034 \dots, 0.87867965 \dots$

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