Ejemplos

Obtener los vectores propios/el espacio propio
Paso 1
Obtén los valores propios.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1
Establece la fórmula para obtener la ecuación característica .
Paso 1.2
La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño es la matriz cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.
Paso 1.3
Sustituye los valores conocidos en .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.3.1
Sustituye por .
Paso 1.3.2
Sustituye por .
Paso 1.4
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1.1
Multiplica por cada elemento de la matriz.
Paso 1.4.1.2
Simplifica cada elemento de la matriz.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1.2.1
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.2
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1.2.2.1
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.2.2
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.3
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.1.2.3.1
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.3.2
Multiplica por .
Paso 1.4.1.2.4
Multiplica por .
Paso 1.4.2
Suma los elementos correspondientes.
Paso 1.4.3
Simplify each element.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.4.3.1
Suma y .
Paso 1.4.3.2
Suma y .
Paso 1.5
Find the determinant.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.1
El determinante de una matriz puede obtenerse usando la fórmula .
Paso 1.5.2
Simplifica el determinante.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.2.1.1
Expande con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.2.1.1.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.5.2.1.1.2
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.5.2.1.1.3
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.5.2.1.2
Simplifica y combina los términos similares.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.2.1.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.2.1.2.1.1
Multiplica por .
Paso 1.5.2.1.2.1.2
Multiplica por .
Paso 1.5.2.1.2.1.3
Multiplica por .
Paso 1.5.2.1.2.1.4
Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.
Paso 1.5.2.1.2.1.5
Multiplica por sumando los exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.5.2.1.2.1.5.1
Mueve .
Paso 1.5.2.1.2.1.5.2
Multiplica por .
Paso 1.5.2.1.2.1.6
Multiplica por .
Paso 1.5.2.1.2.1.7
Multiplica por .
Paso 1.5.2.1.2.2
Resta de .
Paso 1.5.2.1.3
Multiplica por .
Paso 1.5.2.2
Resta de .
Paso 1.5.2.3
Reordena y .
Paso 1.6
Establece el polinomio característico igual a para obtener los valores propios .
Paso 1.7
Resuelve
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.1
Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.
Paso 1.7.2
Sustituye los valores , y en la fórmula cuadrática y resuelve .
Paso 1.7.3
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.3.1
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.3.1.1
Eleva a la potencia de .
Paso 1.7.3.1.2
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.7.3.1.2.1
Multiplica por .
Paso 1.7.3.1.2.2
Multiplica por .
Paso 1.7.3.1.3
Suma y .
Paso 1.7.3.2
Multiplica por .
Paso 1.7.4
La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.
Paso 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where is the null space and is the identity matrix.
Paso 3
Find the eigenvector using the eigenvalue .
Toca para ver más pasos...
Paso 3.1
Sustituye los valores conocidos en la fórmula.
Paso 3.2
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.2.1.1
Multiplica por cada elemento de la matriz.
Paso 3.2.1.2
Simplifica cada elemento de la matriz.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.2.1.2.1
Multiplica por .
Paso 3.2.1.2.2
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 3.2.1.2.2.1
Multiplica por .
Paso 3.2.1.2.2.2
Multiplica por .
Paso 3.2.1.2.3
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 3.2.1.2.3.1
Multiplica por .
Paso 3.2.1.2.3.2
Multiplica por .
Paso 3.2.1.2.4
Multiplica por .
Paso 3.2.2
Suma los elementos correspondientes.
Paso 3.2.3
Simplify each element.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.2.3.1
Para escribir como una fracción con un denominador común, multiplica por .
Paso 3.2.3.2
Combina y .
Paso 3.2.3.3
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 3.2.3.4
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.2.3.4.1
Multiplica por .
Paso 3.2.3.4.2
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 3.2.3.4.3
Multiplica por .
Paso 3.2.3.4.4
Resta de .
Paso 3.2.3.5
Suma y .
Paso 3.2.3.6
Suma y .
Paso 3.2.3.7
Escribe como una fracción con un denominador común.
Paso 3.2.3.8
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 3.2.3.9
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.2.3.9.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 3.2.3.9.2
Multiplica por .
Paso 3.2.3.9.3
Resta de .
Paso 3.2.3.10
Reescribe como .
Paso 3.2.3.11
Factoriza de .
Paso 3.2.3.12
Factoriza de .
Paso 3.2.3.13
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 3.3
Find the null space when .
Toca para ver más pasos...
Paso 3.3.1
Write as an augmented matrix for .
Paso 3.3.2
Obtén la forma escalonada reducida por filas.
Toca para ver más pasos...
Paso 3.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Toca para ver más pasos...
Paso 3.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Paso 3.3.2.1.2
Simplifica .
Paso 3.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Toca para ver más pasos...
Paso 3.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Paso 3.3.2.2.2
Simplifica .
Paso 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Paso 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Paso 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Paso 3.3.6
Write as a solution set.
Paso 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Paso 4
Find the eigenvector using the eigenvalue .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.1
Sustituye los valores conocidos en la fórmula.
Paso 4.2
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.2.1.1
Multiplica por cada elemento de la matriz.
Paso 4.2.1.2
Simplifica cada elemento de la matriz.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.2.1.2.1
Multiplica por .
Paso 4.2.1.2.2
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.2.1.2.2.1
Multiplica por .
Paso 4.2.1.2.2.2
Multiplica por .
Paso 4.2.1.2.3
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.2.1.2.3.1
Multiplica por .
Paso 4.2.1.2.3.2
Multiplica por .
Paso 4.2.1.2.4
Multiplica por .
Paso 4.2.2
Suma los elementos correspondientes.
Paso 4.2.3
Simplify each element.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.2.3.1
Para escribir como una fracción con un denominador común, multiplica por .
Paso 4.2.3.2
Combina y .
Paso 4.2.3.3
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 4.2.3.4
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.2.3.4.1
Multiplica por .
Paso 4.2.3.4.2
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 4.2.3.4.3
Multiplica por .
Paso 4.2.3.4.4
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.2.3.4.4.1
Multiplica por .
Paso 4.2.3.4.4.2
Multiplica por .
Paso 4.2.3.4.5
Resta de .
Paso 4.2.3.5
Suma y .
Paso 4.2.3.6
Suma y .
Paso 4.2.3.7
Escribe como una fracción con un denominador común.
Paso 4.2.3.8
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 4.2.3.9
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.2.3.9.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 4.2.3.9.2
Multiplica por .
Paso 4.2.3.9.3
Multiplica .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.2.3.9.3.1
Multiplica por .
Paso 4.2.3.9.3.2
Multiplica por .
Paso 4.2.3.9.4
Resta de .
Paso 4.2.3.10
Reescribe como .
Paso 4.2.3.11
Factoriza de .
Paso 4.2.3.12
Factoriza de .
Paso 4.2.3.13
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 4.3
Find the null space when .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.3.1
Write as an augmented matrix for .
Paso 4.3.2
Obtén la forma escalonada reducida por filas.
Toca para ver más pasos...
Paso 4.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Paso 4.3.2.1.2
Simplifica .
Paso 4.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Toca para ver más pasos...
Paso 4.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Paso 4.3.2.2.2
Simplifica .
Paso 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Paso 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Paso 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Paso 4.3.6
Write as a solution set.
Paso 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Paso 5
The eigenspace of is the list of the vector space for each eigenvalue.
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