Cálculo Ejemplos

Determina la convergencia con la prueba integral
Paso 1
Comprueba si la función es continua sobre la cota de suma.
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Paso 1.1
El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.
Notación de intervalo:
Notación del constructor de conjuntos:
Paso 1.2
es continua en .
Paso 2
Comprueba si la función es positiva sobre las cotas.
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Paso 2.1
Establece una desigualdad.
Paso 2.2
Resuelve la desigualdad.
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Paso 2.2.1
Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a , la expresión completa será igual a .
Paso 2.2.2
Establece igual a .
Paso 2.2.3
Establece igual a y resuelve .
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Paso 2.2.3.1
Establece igual a .
Paso 2.2.3.2
Resuelve en .
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Paso 2.2.3.2.1
Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.
Paso 2.2.3.2.2
La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.
Indefinida
Paso 2.2.3.2.3
No hay soluciones para
No hay solución
No hay solución
No hay solución
Paso 2.2.4
La solución final comprende todos los valores que hacen verdadera.
Paso 2.2.5
La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.
Paso 3
Determina dónde disminuye la función.
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Paso 3.1
Escribe como una función.
Paso 3.2
Obtén la primera derivada.
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Paso 3.2.1
Obtén la primera derivada.
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Paso 3.2.1.1
Diferencia con la regla del producto, que establece que es donde y .
Paso 3.2.1.2
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
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Paso 3.2.1.2.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 3.2.1.2.2
Diferencia con la regla exponencial, que establece que es donde = .
Paso 3.2.1.2.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 3.2.1.3
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 3.2.1.4
Eleva a la potencia de .
Paso 3.2.1.5
Eleva a la potencia de .
Paso 3.2.1.6
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 3.2.1.7
Simplifica la expresión.
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Paso 3.2.1.7.1
Suma y .
Paso 3.2.1.7.2
Mueve a la izquierda de .
Paso 3.2.1.8
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 3.2.1.9
Multiplica por .
Paso 3.2.1.10
Simplifica.
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Paso 3.2.1.10.1
Reordena los términos.
Paso 3.2.1.10.2
Reordena los factores en .
Paso 3.2.2
La primera derivada de con respecto a es .
Paso 3.3
Establece la primera derivada igual a , luego resuelve la ecuación .
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Paso 3.3.1
Establece la primera derivada igual a .
Paso 3.3.2
Factoriza de .
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Paso 3.3.2.1
Factoriza de .
Paso 3.3.2.2
Multiplica por .
Paso 3.3.2.3
Factoriza de .
Paso 3.3.3
Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a , la expresión completa será igual a .
Paso 3.3.4
Establece igual a y resuelve .
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Paso 3.3.4.1
Establece igual a .
Paso 3.3.4.2
Resuelve en .
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Paso 3.3.4.2.1
Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.
Paso 3.3.4.2.2
La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.
Indefinida
Paso 3.3.4.2.3
No hay soluciones para
No hay solución
No hay solución
No hay solución
Paso 3.3.5
Establece igual a y resuelve .
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Paso 3.3.5.1
Establece igual a .
Paso 3.3.5.2
Resuelve en .
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Paso 3.3.5.2.1
Resta de ambos lados de la ecuación.
Paso 3.3.5.2.2
Divide cada término en por y simplifica.
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Paso 3.3.5.2.2.1
Divide cada término en por .
Paso 3.3.5.2.2.2
Simplifica el lado izquierdo.
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Paso 3.3.5.2.2.2.1
Cancela el factor común de .
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Paso 3.3.5.2.2.2.1.1
Cancela el factor común.
Paso 3.3.5.2.2.2.1.2
Divide por .
Paso 3.3.5.2.2.3
Simplifica el lado derecho.
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Paso 3.3.5.2.2.3.1
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 3.3.5.2.3
Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.
Paso 3.3.5.2.4
Simplifica .
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Paso 3.3.5.2.4.1
Reescribe como .
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Paso 3.3.5.2.4.1.1
Reescribe como .
Paso 3.3.5.2.4.1.2
Reescribe como .
Paso 3.3.5.2.4.2
Retira los términos de abajo del radical.
Paso 3.3.5.2.4.3
Uno elevado a cualquier potencia es uno.
Paso 3.3.5.2.4.4
Reescribe como .
Paso 3.3.5.2.4.5
Cualquier raíz de es .
Paso 3.3.5.2.4.6
Multiplica por .
Paso 3.3.5.2.4.7
Combina y simplifica el denominador.
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Paso 3.3.5.2.4.7.1
Multiplica por .
Paso 3.3.5.2.4.7.2
Eleva a la potencia de .
Paso 3.3.5.2.4.7.3
Eleva a la potencia de .
Paso 3.3.5.2.4.7.4
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 3.3.5.2.4.7.5
Suma y .
Paso 3.3.5.2.4.7.6
Reescribe como .
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Paso 3.3.5.2.4.7.6.1
Usa para reescribir como .
Paso 3.3.5.2.4.7.6.2
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 3.3.5.2.4.7.6.3
Combina y .
Paso 3.3.5.2.4.7.6.4
Cancela el factor común de .
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Paso 3.3.5.2.4.7.6.4.1
Cancela el factor común.
Paso 3.3.5.2.4.7.6.4.2
Reescribe la expresión.
Paso 3.3.5.2.4.7.6.5
Evalúa el exponente.
Paso 3.3.5.2.4.8
Combina y .
Paso 3.3.5.2.5
La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.
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Paso 3.3.5.2.5.1
Primero, usa el valor positivo de para obtener la primera solución.
Paso 3.3.5.2.5.2
Luego, usa el valor negativo de para obtener la segunda solución.
Paso 3.3.5.2.5.3
La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.
Paso 3.3.6
La solución final comprende todos los valores que hacen verdadera.
Paso 3.4
No hay valores de en el dominio del problema original donde la derivada es o indefinida.
No se obtuvieron puntos críticos
Paso 3.5
Ningún punto hace que la derivada sea igual a o indefinida. El intervalo para verificar si está aumentando o disminuyendo es .
Paso 3.6
Sustituye cualquier número, como , del intervalo en la derivada para comprobar si el resultado es negativo o positivo. Si el resultado es negativo, la gráfica está disminuyendo en el intervalo . Si el resultado es positivo, la gráfica está aumentando en el intervalo .
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Paso 3.6.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 3.6.2
Simplifica el resultado.
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Paso 3.6.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 3.6.2.1.1
Uno elevado a cualquier potencia es uno.
Paso 3.6.2.1.2
Multiplica por .
Paso 3.6.2.1.3
Uno elevado a cualquier potencia es uno.
Paso 3.6.2.1.4
Simplifica.
Paso 3.6.2.1.5
Uno elevado a cualquier potencia es uno.
Paso 3.6.2.1.6
Simplifica.
Paso 3.6.2.2
Suma y .
Paso 3.6.2.3
La respuesta final es .
Paso 3.7
El resultado de sustituir en es , que es positiva, de modo que la gráfica es creciente en el intervalo .
Incremento en ya que
Paso 3.8
Incrementar sobre el intervalo significa que la función siempre aumenta.
Paso 4
La prueba integral no se aplica porque la función no siempre disminuye de a .
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