Cálculo Ejemplos

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$

Paso 1

Para determinar si la serie es convergente, determina si la integral de la secuencia es convergente.

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} d x$

Paso 2

Escribe la integral como un límite a medida que $t$ se acerca a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x} d x$

Paso 3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$lim_{t \to \infty} \ln (| x |)]_{1}^{t}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Evalúa $\ln (| x |)$ en $t$ y en $1$ .

$lim_{t \to \infty} (\ln (| t |)) - \ln (| 1 |)$

Paso 4.2

Elimina los paréntesis.

$lim_{t \to \infty} \ln (| t |) - \ln (| 1 |)$

Paso 4.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$lim_{t \to \infty} \ln (\frac{| t |}{| 1 |})$

Paso 5

A medida que el logaritmo se acerca al infinito, el valor va a $\infty$ .

$\infty$

Paso 6

Como la integral es divergente, la serie es divergente.

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