Cálculo Ejemplos

$6 \sqrt{3 x}$

Paso 1

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 \int \sqrt{3 x} d x$

Paso 2

Sea $u = 3 x$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 2.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 2.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$6 \int \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Paso 3

Combina $\sqrt{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$6 \int \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$6 (\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u)$

Paso 5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1

Simplifica.

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Paso 5.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $6$ .

$\frac{6}{3} \int \sqrt{u} d u$

Paso 5.1.2

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 5.1.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} \int \sqrt{u} d u$

Paso 5.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int \sqrt{u} d u$

Paso 5.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int \sqrt{u} d u$

Paso 5.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{1} \int \sqrt{u} d u$

Paso 5.1.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$2 \int \sqrt{u} d u$

Paso 5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reescribe $2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ como $2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Combina $2$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 7.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$\frac{4}{3} {(3 x)}^{\frac{3}{2}} + C$

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