Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + \tan (x) y = 1$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \tan (x)$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int \tan (x) d x}$

Paso 1.2

La integral de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \sec (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sec (x) |) + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{\ln (\sec (x))}$

Paso 1.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$\sec (x)$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $\sec (x)$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $\sec (x)$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) (\tan (x) y) = \sec (x) \cdot 1$

Paso 2.2

Multiplica $\sec (x)$ por $1$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) \tan (x) y = \sec (x)$

Paso 2.3

Reordena los factores en $\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) \tan (x) y = \sec (x)$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + y \sec (x) \tan (x) = \sec (x)$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\sec (x) y] = \sec (x)$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\sec (x) y] d x = \int \sec (x) d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$\sec (x) y = \int \sec (x) d x$

Paso 6

La integral de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$\sec (x) y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$

Paso 7

Divide cada término en $\sec (x) y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$ por $\sec (x)$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $\sec (x) y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$ por $\sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $\sec (x)$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.1

Separa las fracciones.

$y = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Paso 7.3.1.2

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$y = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec (x)}$

Paso 7.3.1.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$y = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{1} (1 \cos (x)) + \frac{C}{\sec (x)}$

Paso 7.3.1.4

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{1} \cos (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

Paso 7.3.1.5

Divide $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ por $1$ .

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

Paso 7.3.1.6

Separa las fracciones.

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)}$

Paso 7.3.1.7

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Paso 7.3.1.8

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + \frac{C}{1} (1 \cos (x))$

Paso 7.3.1.9

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + \frac{C}{1} \cos (x)$

Paso 7.3.1.10

Divide $C$ por $1$ .

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) \cos (x) + C \cos (x)$

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