Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} - x = x^{2}$ , $(- 2, 2)$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} = x^{2} + x$

Paso 1.2

Reescribe la ecuación.

$d y = (x^{2} + x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int x^{2} + x d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int x^{2} + x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int x^{2} d x + \int x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int x d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{3}$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $- 2$ por $x$ y de $2$ por $y$ en $y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$ .

$2 = \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$

Paso 4.2

Simplifica $\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 8 + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$

Paso 4.2.1.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 8$ .

$\frac{- 8}{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$

Paso 4.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{2} + K = 2$

Paso 4.2.1.4

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot 4 + K = 2$

Paso 4.2.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.5.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot (2 (2)) + K = 2$

Paso 4.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$- \frac{8}{3} + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + K = 2$

Paso 4.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{8}{3} + 2 + K = 2$

Paso 4.2.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} + K = 2$

Paso 4.2.3

Combina $2$ y $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + K = 2$

Paso 4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 8 + 2 \cdot 3}{3} + K = 2$

Paso 4.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.5.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{- 8 + 6}{3} + K = 2$

Paso 4.2.5.2

Suma $- 8$ y $6$ .

$\frac{- 2}{3} + K = 2$

Paso 4.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{3} + K = 2$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Suma $\frac{2}{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$K = 2 + \frac{2}{3}$

Paso 4.3.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$K = 2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

Paso 4.3.3

Combina $2$ y $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}$

Paso 4.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$K = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3}$

Paso 4.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.5.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$K = \frac{6 + 2}{3}$

Paso 4.3.5.2

Suma $6$ y $2$ .

$K = \frac{8}{3}$

Paso 5

Sustituye $\frac{8}{3}$ por $K$ en $y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $\frac{8}{3}$ por $K$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{8}{3}$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{8}{3}$

Paso 5.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{8}{3}$

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