Cálculo Ejemplos

$4 y'' = y$ , $y = e^{r x}$

Paso 1

Obtén $y'$ .

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{r x})$

Paso 1.2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 1.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = r x$ .

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Paso 1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $r x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x]$

Paso 1.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [r x]$

Paso 1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $r x$ .

$e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]$

Paso 1.3.2

Diferencia.

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Paso 1.3.2.1

Como $r$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $r x$ con respecto a $x$ es $r \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{r x} (r \cdot 1)$

Paso 1.3.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.2.3.1

Multiplica $r$ por $1$ .

$e^{r x} r$

Paso 1.3.2.3.2

Reordena los factores en $e^{r x} r$ .

$r e^{r x}$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = r e^{r x}$

Paso 2

Obtén $y''$ .

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Paso 2.1

Establece la derivada.

$y'' = \frac{d}{d x} [r e^{r x}]$

Paso 2.2

Como $r$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $r e^{r x}$ con respecto a $x$ es $r \frac{d}{d x} [e^{r x}]$ .

$y'' = r \frac{d}{d x} [e^{r x}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = r x$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $r x$ .

$y'' = r (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x])$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$y'' = r (e^{u} \frac{d}{d x} [r x])$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $r x$ .

$y'' = r (e^{r x} \frac{d}{d x} [r x])$

Paso 2.4

Como $r$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $r x$ con respecto a $x$ es $r \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = r (e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 2.5

Eleva $r$ a la potencia de $1$ .

$y'' = r^{1} r (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Paso 2.6

Eleva $r$ a la potencia de $1$ .

$y'' = r^{1} r^{1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Paso 2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y'' = r^{1 + 1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Paso 2.8

Suma $1$ y $1$ .

$y'' = r^{2} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y'' = r^{2} (e^{r x} \cdot 1)$

Paso 2.10

Multiplica $e^{r x}$ por $1$ .

$y'' = r^{2} e^{r x}$

Paso 3

Sustituye en la ecuación diferencial dada.

$4 (r^{2} e^{r x}) = y$

Paso 4

Sustituye $y$ por $e^{r x}$ .

$4 (r^{2} y) = y$

Paso 5

Resuelve $r$

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Paso 5.1

Divide cada término en $4 r^{2} y = y$ por $4 y$ y simplifica.

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Paso 5.1.1

Divide cada término en $4 r^{2} y = y$ por $4 y$ .

$\frac{4 r^{2} y}{4 y} = \frac{y}{4 y}$

Paso 5.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 r^{2} y}{4 y} = \frac{y}{4 y}$

Paso 5.1.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{r^{2} y}{y} = \frac{y}{4 y}$

Paso 5.1.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{r^{2} y}{y} = \frac{y}{4 y}$

Paso 5.1.2.2.2

Divide $r^{2}$ por $1$ .

$r^{2} = \frac{y}{4 y}$

Paso 5.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1.3.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.1.3.1.1

Cancela el factor común.

$r^{2} = \frac{y}{4 y}$

Paso 5.1.3.1.2

Reescribe la expresión.

$r^{2} = \frac{1}{4}$

Paso 5.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$r = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Paso 5.3

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Paso 5.3.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{4}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Paso 5.3.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Paso 5.3.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 5.3.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$r = \pm \frac{1}{2}$

Paso 5.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$r = \frac{1}{2}$

Paso 5.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$r = - \frac{1}{2}$

Paso 5.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$r = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

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