Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = {(x - 2)}^{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = {(x - 2)}^{2} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int {(x - 2)}^{2} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int {(x - 2)}^{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u = x - 2$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u = x - 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Paso 2.3.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.3.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.3.1.1.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.3.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = \int u^{2} d u$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{1}{3} {(x - 2)}^{3} + K$

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