Cálculo Ejemplos

$y = x^{\sqrt{x}}$

Paso 1

Sea $y = f (x)$ , calcula el logaritmo natural de ambos lados $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{\sqrt{x}})$

Paso 2

Expande el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y) = \ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 2.2

Expande $\ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})$ ; para ello, mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del logaritmo.

$\ln (y) = x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$

Paso 3

Diferencia la expresión mediante la regla de la cadena, teniendo en cuenta que $y$ es una función de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Diferencia el lado izquierdo $\ln (y)$ mediante la regla de la cadena.

$\frac{y'}{y} = x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$

Paso 3.2

Diferencia el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Diferencia $x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.4

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.4.1

Combina $x^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.4.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.5

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.5.1

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.5.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.5.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.5.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.5.4

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 3.2.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 3.2.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 3.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 3.2.10

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 3.2.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 3.2.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 3.2.12

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 3.2.13

Combina $\ln (x)$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 3.2.14

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4

Aísla $y'$ y sustituye la función original de $y$ en el lado derecho.

$y' = (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\sqrt{x}}$

Paso 5

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y' = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\sqrt{x}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\sqrt{x}}$

Paso 5.2

Combina $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ y $x^{\sqrt{x}}$ .

$y' = \frac{x^{\sqrt{x}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\sqrt{x}}$

Paso 5.3

Combina $\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ y $x^{\sqrt{x}}$ .

$y' = \frac{x^{\sqrt{x}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\sqrt{x}}$ .

$y' = \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.2.1

Multiplica por $1$ .

$y' = \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.4.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{1} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.4.2.4

Divide $x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}$ por $1$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.4.3

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $\ln (x) x^{\sqrt{x}}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x) x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.4.4

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.4.1

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x) x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Paso 5.4.4.2

Cancela el factor común.

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x) x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Paso 5.4.4.3

Reescribe la expresión.

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 5.4.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.5.1

Para escribir $\sqrt{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\sqrt{x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 5.4.5.2

Combina $\sqrt{x}$ y $\frac{2}{2}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\frac{\sqrt{x} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 5.4.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\frac{\sqrt{x} \cdot 2 - 1}{2}}}{2}$

Paso 5.4.5.4

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{x}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} + \frac{\ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

Paso 5.5

Para escribir $x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y' = x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

Paso 5.6

Combina $x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}}$ y $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{\ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

Paso 5.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{x^{\sqrt{x} - \frac{1}{2}} \cdot 2 + \ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

Paso 5.8

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \cdot 2 + \ln (x) x^{\frac{2 \sqrt{x} - 1}{2}}}{2}$

Paso 5.8.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \cdot 2 + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Paso 5.8.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{2 \cdot x^{x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Paso 5.8.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.8.4.1

Para escribir $x^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{2 x^{x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Paso 5.8.4.2

Combina $x^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{2 x^{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Paso 5.8.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{2 x^{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - 1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Paso 5.8.4.4

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}}{2}$

Paso 5.8.5

Factoriza $x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ de $2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} + \ln (x) x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.8.5.1

Reordena $\ln (x)$ y $x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ .

$y' = \frac{2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \ln (x)}{2}$

Paso 5.8.5.2

Factoriza $x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ de $2 x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ .

$y' = \frac{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \ln (x)}{2}$

Paso 5.8.5.3

Factoriza $x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ de $x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \ln (x)$ .

$y' = \frac{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (\ln (x))}{2}$

Paso 5.8.5.4

Factoriza $x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}}$ de $x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (\ln (x))$ .

$y' = \frac{x^{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - 1}{2}} (2 + \ln (x))}{2}$

Ingresa TU problema