Cálculo Ejemplos

$y = | x^{2} - x |$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (| x^{2} - x |)$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = | x |$ y $g (x) = x^{2} - x$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - x$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Paso 3.1.2

La derivada de $| u |$ con respecto a $u$ es $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - x$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x + \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 3.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x - \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x - 1 \cdot 1)$

Paso 3.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x - 1)$

Paso 3.2.5.2

Reordena los factores de $\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x - 1)$ .

$(2 x - 1) \frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = (2 x - 1) (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |})$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (2 x - 1) (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |})$

Paso 6

Establece $\frac{d y}{d x} = 0$ luego obtén el valor de $x$ en términos de $y$ .

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Paso 6.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} = 0$

Paso 6.2

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.2.1

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Paso 6.2.2

Resuelve $2 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 1$

Paso 6.2.2.2

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.2.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 6.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 6.2.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 6.3

Establece $\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.3.1

Establece $\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}$ igual a $0$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} = 0$

Paso 6.3.2

Resuelve $\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} = 0$ en $x$ .

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Paso 6.3.2.1

Establece el numerador igual a cero.

$x^{2} - x = 0$

Paso 6.3.2.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 6.3.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2} - x$ .

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Paso 6.3.2.2.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x - x = 0$

Paso 6.3.2.2.1.2

Factoriza $x$ de $- x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 0$

Paso 6.3.2.2.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$x (x - 1) = 0$

Paso 6.3.2.2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 6.3.2.2.3

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 6.3.2.2.4

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.3.2.2.4.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 6.3.2.2.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 6.3.2.2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, 1$

Paso 6.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x - 1) (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{2}, 0, 1$

Paso 6.5

Excluye las soluciones que no hagan que $(2 x - 1) (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}) = 0$ sea verdadera.

$x = \frac{1}{2}$

Paso 7

Simplifica $| {(\frac{1}{2})}^{2} - (\frac{1}{2}) |$ .

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Paso 7.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$y = | \frac{1^{2}}{2^{2}} - (\frac{1}{2}) |$

Paso 7.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = | \frac{1}{2^{2}} - (\frac{1}{2}) |$

Paso 7.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = | \frac{1}{4} - \frac{1}{2} |$

Paso 7.2

Para escribir $- \frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = | \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} |$

Paso 7.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = | \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} |$

Paso 7.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = | \frac{1}{4} - \frac{2}{4} |$

Paso 7.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = | \frac{1 - 2}{4} |$

Paso 7.5

Resta $2$ de $1$ .

$y = | \frac{- 1}{4} |$

Paso 7.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = | - \frac{1}{4} |$

Paso 7.7

$- \frac{1}{4}$ es aproximadamente $- 0.25$ , que es negativo, así es que niega $- \frac{1}{4}$ y elimina el valor absoluto.

$y = \frac{1}{4}$

Paso 8

Obtén los puntos donde $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$

Paso 9

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