Cálculo Ejemplos

$y = x^{4} - 8 x^{2}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{4} - 8 x^{2})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 8 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 x^{3} - 8 (2 x)$

Paso 3.2.3

Multiplica $2$ por $- 8$ .

$4 x^{3} - 16 x$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 4 x^{3} - 16 x$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 16 x$

Paso 6

Establece $\frac{d y}{d x} = 0$ luego obtén el valor de $x$ en términos de $y$ .

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Paso 6.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.1.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3} - 16 x$ .

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Paso 6.1.1.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 16 x = 0$

Paso 6.1.1.2

Factoriza $4 x$ de $- 16 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 4) = 0$

Paso 6.1.1.3

Factoriza $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 4)$ .

$4 x (x^{2} - 4) = 0$

Paso 6.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Paso 6.1.3

Factoriza.

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Paso 6.1.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$4 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Paso 6.1.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 x (x + 2) (x - 2) = 0$

Paso 6.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 6.3

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 6.4

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.4.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 6.4.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 6.5

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.5.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 6.5.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 6.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 x (x + 2) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 2, 2$

Paso 7

Resuelve $y$

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Paso 7.1

Elimina los paréntesis.

$y = 0^{4} - 8 {(0)}^{2}$

Paso 7.2

Elimina los paréntesis.

$y = 0^{4} - 8 \cdot 0^{2}$

Paso 7.3

Simplifica $0^{4} - 8 \cdot 0^{2}$ .

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Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 0 - 8 \cdot 0^{2}$

Paso 7.3.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = 0 - 8 \cdot 0$

Paso 7.3.1.3

Multiplica $- 8$ por $0$ .

$y = 0 + 0$

Paso 7.3.2

Suma $0$ y $0$ .

$y = 0$

Paso 8

Simplifica ${(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2}$ .

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Paso 8.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$y = 16 - 8 {(- 2)}^{2}$

Paso 8.1.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$y = 16 - 8 \cdot 4$

Paso 8.1.3

Multiplica $- 8$ por $4$ .

$y = 16 - 32$

Paso 8.2

Resta $32$ de $16$ .

$y = - 16$

Paso 9

Obtén los puntos donde $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 0)$

$(- 2, - 16)$

$(2, - 16)$

Paso 10

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