Cálculo Ejemplos

$\frac{x + 3}{x^{2} - 1}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x + 3$ y $g (x) = x^{2} - 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.4

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.8

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - (x + 3) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (x + 3) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + (- x - 1 \cdot 3) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 - x (2 x) - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot 1 - x (2 x) - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 1 - x (2 x) - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{x^{2} - 1 - 1 \cdot 2 x \cdot x - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.1.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.1.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.1.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 - 1 \cdot 2 x^{2} - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 1 \cdot 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.1.6

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 3 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.1.7

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.4.2

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 1 - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.5

Reordena los términos.

$\frac{- x^{2} - 6 x - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 3.6

Simplifica el denominador.

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Paso 3.6.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 6 x - 1}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Paso 3.6.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{- x^{2} - 6 x - 1}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

Paso 3.6.3

Aplica la regla del producto a $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{- x^{2} - 6 x - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.7

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - 6 x - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.8

Factoriza $- 1$ de $- 6 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (6 x) - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.9

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (6 x)$ .

$\frac{- (x^{2} + 6 x) - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.10

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (x^{2} + 6 x) - 1 (1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.11

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} + 6 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x^{2} + 6 x + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.12

Reescribe $- (x^{2} + 6 x + 1)$ como $- 1 (x^{2} + 6 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + 6 x + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 3.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{2} + 6 x + 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

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