Cálculo Ejemplos

Obtener dónde se satisface el teorema del valor medio
,
Paso 1
Si es continua en el intervalo y diferenciable en , entonces existe al menos un número real en el intervalo tal que . El teorema del valor medio expresa la relación entre la pendiente de la tangente a la curva en y la pendiente de la línea que pasa por los puntos y .
Si es continua en
y si es diferenciable en ,
existe al menos un punto, en : .
Paso 2
Comprueba si es continua.
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Paso 2.1
El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.
Notación de intervalo:
Notación del constructor de conjuntos:
Paso 2.2
es continua en .
La función es continua.
La función es continua.
Paso 3
Obtén la derivada.
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Paso 3.1
Obtén la primera derivada.
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Paso 3.1.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 3.1.2
Evalúa .
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Paso 3.1.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 3.1.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 3.1.2.3
Multiplica por .
Paso 3.1.3
Evalúa .
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Paso 3.1.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 3.1.3.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 3.1.3.3
Multiplica por .
Paso 3.1.4
Diferencia con la regla de la constante.
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Paso 3.1.4.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 3.1.4.2
Suma y .
Paso 3.2
La primera derivada de con respecto a es .
Paso 4
Obtén si la derivada es continua en .
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Paso 4.1
El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.
Notación de intervalo:
Notación del constructor de conjuntos:
Paso 4.2
es continua en .
La función es continua.
La función es continua.
Paso 5
La función es diferenciable en porque la derivada es continua en .
La función es diferenciable.
Paso 6
satisface las dos condiciones del teorema del valor medio. Es continuo en y diferenciable en .
es continua en y diferenciable en .
Paso 7
Evalúa del intervalo .
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Paso 7.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 7.2
Simplifica el resultado.
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Paso 7.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 7.2.1.1
Eleva a la potencia de .
Paso 7.2.1.2
Multiplica por .
Paso 7.2.1.3
Multiplica por .
Paso 7.2.2
Simplifica mediante la resta de números.
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Paso 7.2.2.1
Resta de .
Paso 7.2.2.2
Resta de .
Paso 7.2.3
La respuesta final es .
Paso 8
Evalúa del intervalo .
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Paso 8.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 8.2
Simplifica el resultado.
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Paso 8.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 8.2.1.1
Uno elevado a cualquier potencia es uno.
Paso 8.2.1.2
Multiplica por .
Paso 8.2.1.3
Multiplica por .
Paso 8.2.2
Simplifica mediante suma y resta.
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Paso 8.2.2.1
Suma y .
Paso 8.2.2.2
Resta de .
Paso 8.2.3
La respuesta final es .
Paso 9
Resuelve en . .
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Paso 9.1
Simplifica .
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Paso 9.1.1
Simplifica el numerador.
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Paso 9.1.1.1
Multiplica por .
Paso 9.1.1.2
Resta de .
Paso 9.1.2
Simplifica el denominador.
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Paso 9.1.2.1
Multiplica por .
Paso 9.1.2.2
Suma y .
Paso 9.1.3
Divide por .
Paso 9.2
Mueve todos los términos que no contengan al lado derecho de la ecuación.
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Paso 9.2.1
Resta de ambos lados de la ecuación.
Paso 9.2.2
Resta de .
Paso 9.3
Divide cada término en por y simplifica.
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Paso 9.3.1
Divide cada término en por .
Paso 9.3.2
Simplifica el lado izquierdo.
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Paso 9.3.2.1
Cancela el factor común de .
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Paso 9.3.2.1.1
Cancela el factor común.
Paso 9.3.2.1.2
Divide por .
Paso 9.3.3
Simplifica el lado derecho.
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Paso 9.3.3.1
Divide por .
Paso 10
Se halla una tangente en paralela a la línea que pasa por los extremos y .
Hay una tangente en paralela a la línea que pasa por los extremos y .
Paso 11
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