Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $4 x^{3} + 6 x^{2} - 8$ y $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 6 x^{2} - 8$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} + 6 x^{2} - 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$12 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8]$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $2$ por $6$ .

$12 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 8]$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.2.4.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$12 x^{2} + 12 x + 0$

Paso 1.2.4.2

Suma $12 x^{2} + 12 x$ y $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 12 x$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $12 x^{2} + 12 x$ .

$12 x^{2} + 12 x$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $12 x^{2} + 12 x = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$12 x^{2} + 12 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza $12 x$ de $12 x^{2} + 12 x$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $12 x$ de $12 x^{2}$ .

$12 x (x) + 12 x = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $12 x$ de $12 x$ .

$12 x (x) + 12 x (1) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $12 x$ de $12 x (x) + 12 x (1)$ .

$12 x (x + 1) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $12 x (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 1$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $0$ en $f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} - 8 \cdot 0 + 1$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + 2 {(0)}^{3} - 8 \cdot 0 + 1$

Paso 3.1.2.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + 2 \cdot 0 - 8 \cdot 0 + 1$

Paso 3.1.2.1.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 8 \cdot 0 + 1$

Paso 3.1.2.1.4

Multiplica $- 8$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 1$

Paso 3.1.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 3.1.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Paso 3.1.2.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Paso 3.1.2.2.3

Suma $0$ y $1$ .

$f (0) = 1$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ es $(0, 1)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 1)$

Paso 3.3

Sustituye $- 1$ en $f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} + 2 {(- 1)}^{3} - 8 \cdot - 1 + 1$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (- 1) = 1 + 2 {(- 1)}^{3} - 8 \cdot - 1 + 1$

Paso 3.3.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- 1) = 1 + 2 \cdot - 1 - 8 \cdot - 1 + 1$

Paso 3.3.2.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (- 1) = 1 - 2 - 8 \cdot - 1 + 1$

Paso 3.3.2.1.4

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$f (- 1) = 1 - 2 + 8 + 1$

Paso 3.3.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.3.2.2.1

Resta $2$ de $1$ .

$f (- 1) = - 1 + 8 + 1$

Paso 3.3.2.2.2

Suma $- 1$ y $8$ .

$f (- 1) = 7 + 1$

Paso 3.3.2.2.3

Suma $7$ y $1$ .

$f (- 1) = 8$

Paso 3.3.2.3

La respuesta final es $8$ .

$8$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 1$ en $f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ es $(- 1, 8)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 1, 8)$

Paso 3.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 1), (- 1, 8)$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.1$ en la expresión.

$f'' (- 1.1) = 12 {(- 1.1)}^{2} + 12 (- 1.1)$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 1.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1.1) = 12 \cdot 1.21 + 12 (- 1.1)$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $12$ por $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = 14.52 + 12 (- 1.1)$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $12$ por $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = 14.52 - 13.2$

Paso 5.2.2

Resta $13.2$ de $14.52$ .

$f'' (- 1.1) = 1.32$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $1.32$ .

$1.32$

Paso 5.3

En $- 1.1$ , la segunda derivada es $1.32$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, - 1)$ .

Incremento en $(- \infty, - 1)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 1, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{1}{2}$ en la expresión.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 12 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 6.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 12 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 12 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 12 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 12 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (\frac{1}{2^{2}}) + 12 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (\frac{1}{4}) + 12 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.6

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.2.1.6.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 (3) (\frac{1}{4}) + 12 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.6.2

Cancela el factor común.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{1}{4})) + 12 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.6.3

Reescribe la expresión.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 12 (- \frac{1}{2})$

Paso 6.2.1.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.7.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 12 (\frac{- 1}{2})$

Paso 6.2.1.7.2

Factoriza $2$ de $12$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 2 (6) (\frac{- 1}{2})$

Paso 6.2.1.7.3

Cancela el factor común.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 2 \cdot (6 (\frac{- 1}{2}))$

Paso 6.2.1.7.4

Reescribe la expresión.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 6 \cdot - 1$

Paso 6.2.1.8

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 - 6$

Paso 6.2.2

Resta $6$ de $3$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - 3$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 3$ .

$- 3$

Paso 6.3

En $- \frac{1}{2}$ , la segunda derivada es $- 3$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- 1, 0)$ .

Decrecimiento en $(- 1, 0)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.1$ en la expresión.

$f'' (0.1) = 12 {(0.1)}^{2} + 12 (0.1)$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $0.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.1) = 12 \cdot 0.01 + 12 (0.1)$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $12$ por $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.12 + 12 (0.1)$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $12$ por $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.12 + 1.2$

Paso 7.2.2

Suma $0.12$ y $1.2$ .

$f'' (0.1) = 1.32$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $1.32$ .

$1.32$

Paso 7.3

En $0.1$ , la segunda derivada es $1.32$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(- 1, 8), (0, 1)$ .

$(- 1, 8), (0, 1)$

Paso 9

Ingresa TU problema