Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{5} - 4$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{5} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 1.1.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 x^{4} + 0$

Paso 1.1.4

Suma $5 x^{4}$ y $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4}$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{4}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$5 (4 x^{3})$

Paso 1.2.3

Multiplica $4$ por $5$ .

$f'' (x) = 20 x^{3}$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $20 x^{3}$ .

$20 x^{3}$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $20 x^{3} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$20 x^{3} = 0$

Paso 2.2

Divide cada término en $20 x^{3} = 0$ por $20$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término en $20 x^{3} = 0$ por $20$ .

$\frac{20 x^{3}}{20} = \frac{0}{20}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de $20$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{20 x^{3}}{20} = \frac{0}{20}$

Paso 2.2.2.1.2

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{20}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Divide $0$ por $20$ .

$x^{3} = 0$

Paso 2.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 2.4

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 2.4.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 2.4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $0$ en $f (x) = x^{5} - 4$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{5} - 4$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 4$

Paso 3.1.2.2

Resta $4$ de $0$ .

$f (0) = - 4$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es $- 4$ .

$- 4$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = x^{5} - 4$ es $(0, - 4)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, - 4)$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.1$ en la expresión.

$f'' (- 0.1) = 20 {(- 0.1)}^{3}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Eleva $- 0.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 0.1) = 20 \cdot - 0.001$

Paso 5.2.2

Multiplica $20$ por $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.02$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 0.02$ .

$- 0.02$

Paso 5.3

En $- 0.1$ , la segunda derivada es $- 0.02$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 0)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.1$ en la expresión.

$f'' (0.1) = 20 {(0.1)}^{3}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Eleva $0.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0.1) = 20 \cdot 0.001$

Paso 6.2.2

Multiplica $20$ por $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.02$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $0.02$ .

$0.02$

Paso 6.3

En $0.1$ , la segunda derivada es $0.02$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(0, - 4)$ .

$(0, - 4)$

Paso 8

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