Cálculo Ejemplos

$y = {(x + 3)}^{2}$ , $(1, 16)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = 16$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Reescribe ${(x + 3)}^{2}$ como $(x + 3) (x + 3)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 3) (x + 3)]$

Paso 1.2

Expande $(x + 3) (x + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (x + 3) + 3 (x + 3)]$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)]$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3]$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3]$

Paso 1.3.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3]$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 3 x + 9]$

Paso 1.3.2

Suma $3 x$ y $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

Paso 1.4

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 6 x + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.6

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.8

Multiplica $6$ por $1$ .

$2 x + 6 + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.9

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 6 + 0$

Paso 1.10

Suma $2 x + 6$ y $0$ .

$2 x + 6$

Paso 1.11

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$2 (1) + 6$

Paso 1.12

Simplifica.

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Paso 1.12.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + 6$

Paso 1.12.2

Suma $2$ y $6$ .

$8$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $8$ y un punto dado $(1, 16)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (16) = 8 \cdot (x - (1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 16 = 8 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $8 \cdot (x - 1)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 16 = 0 + 0 + 8 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 16 = 8 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 16 = 8 x + 8 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$y - 16 = 8 x - 8$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $16$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 8 x - 8 + 16$

Paso 2.3.2.2

Suma $- 8$ y $16$ .

$y = 8 x + 8$

Paso 3

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