Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} - 6$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.3

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 x^{3} + 0$

Paso 1.1.4

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x^{3}$ .

$4 x^{3}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $4 x^{3} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$4 x^{3} = 0$

Paso 2.2

Divide cada término en $4 x^{3} = 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término en $4 x^{3} = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 2.2.2.1.2

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{4}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$x^{3} = 0$

Paso 2.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 2.4

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 2.4.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 2.4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0$ .

$0$

Paso 4

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = 4 x^{3}$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = x^{4} - 6$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = 4 {(- 1)}^{3}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 1) = 4 \cdot - 1$

Paso 5.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 4$ .

$- 4$

Paso 5.3

En $x = - 1$ la derivada es $- 4$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = 4 {(1)}^{3}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = 4 \cdot 1$

Paso 6.2.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$f' (1) = 4$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $4$ .

$4$

Paso 6.3

En $x = 1$ la derivada es $4$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(0, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, 0)$

Paso 8

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