Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} - 12 x^{2} + 36$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 12 x^{2} + 36$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 x^{3} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [36]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 12$ .

$4 x^{3} - 24 x + \frac{d}{d x} [36]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.3.1

Como $36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $36$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 x^{3} - 24 x + 0$

Paso 1.1.3.2

Suma $4 x^{3} - 24 x$ y $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x^{3} - 24 x$ .

$4 x^{3} - 24 x$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $4 x^{3} - 24 x = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$4 x^{3} - 24 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3} - 24 x$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 24 x = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $4 x$ de $- 24 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 6) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 6)$ .

$4 x (x^{2} - 6) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 6 = 0$

Paso 2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $x^{2} - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x^{2} - 6$ igual a $0$ .

$x^{2} - 6 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $x^{2} - 6 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 6$

Paso 2.5.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{6}$

Paso 2.5.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.5.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{6}$

Paso 2.5.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{6}$

Paso 2.5.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 x (x^{2} - 6) = 0$ verdadera.

$x = 0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$ .

$0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6}, 0) \cup (0, \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \sqrt{6})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3.4494898$ en la expresión.

$f' (- 3.4494898) = 4 {(- 3.4494898)}^{3} - 24 \cdot - 3.4494898$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 3.4494898$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 3.4494898) = 4 \cdot - 41.04540972 - 24 \cdot - 3.4494898$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 41.04540972$ .

$f' (- 3.4494898) = - 164.18163891 - 24 \cdot - 3.4494898$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 24$ por $- 3.4494898$ .

$f' (- 3.4494898) = - 164.18163891 + 82.7877552$

Paso 5.2.2

Suma $- 164.18163891$ y $82.7877552$ .

$f' (- 3.4494898) = - 81.39388371$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 81.39388371$ .

$- 81.39388371$

Paso 5.3

En $x = - 3.4494898$ la derivada es $- 81.39388371$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, - \sqrt{6})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - \sqrt{6})$ desde $f' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 2.4494898, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.2247449$ en la expresión.

$f' (- 1.2247449) = 4 {(- 1.2247449)}^{3} - 24 \cdot - 1.2247449$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 1.2247449$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 1.2247449) = 4 \cdot - 1.83711743 - 24 \cdot - 1.2247449$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1.83711743$ .

$f' (- 1.2247449) = - 7.34846974 - 24 \cdot - 1.2247449$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 24$ por $- 1.2247449$ .

$f' (- 1.2247449) = - 7.34846974 + 29.3938776$

Paso 6.2.2

Suma $- 7.34846974$ y $29.3938776$ .

$f' (- 1.2247449) = 22.04540785$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $22.04540785$ .

$22.04540785$

Paso 6.3

En $x = - 1.2247449$ la derivada es $22.04540785$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 2.4494898, 0)$ .

Incremento en $(- \sqrt{6}, 0)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \sqrt{6})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.2247449$ en la expresión.

$f' (1.2247449) = 4 {(1.2247449)}^{3} - 24 \cdot 1.2247449$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $1.2247449$ a la potencia de $3$ .

$f' (1.2247449) = 4 \cdot 1.83711743 - 24 \cdot 1.2247449$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $4$ por $1.83711743$ .

$f' (1.2247449) = 7.34846974 - 24 \cdot 1.2247449$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 24$ por $1.2247449$ .

$f' (1.2247449) = 7.34846974 - 29.3938776$

Paso 7.2.2

Resta $29.3938776$ de $7.34846974$ .

$f' (1.2247449) = - 22.04540785$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 22.04540785$ .

$- 22.04540785$

Paso 7.3

En $x = 1.2247449$ la derivada es $- 22.04540785$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, \sqrt{6})$ .

Decrecimiento en $(0, \sqrt{6})$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(\sqrt{6}, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $3.4494898$ en la expresión.

$f' (3.4494898) = 4 {(3.4494898)}^{3} - 24 \cdot 3.4494898$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $3.4494898$ a la potencia de $3$ .

$f' (3.4494898) = 4 \cdot 41.04540972 - 24 \cdot 3.4494898$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $4$ por $41.04540972$ .

$f' (3.4494898) = 164.18163891 - 24 \cdot 3.4494898$

Paso 8.2.1.3

Multiplica $- 24$ por $3.4494898$ .

$f' (3.4494898) = 164.18163891 - 82.7877552$

Paso 8.2.2

Resta $82.7877552$ de $164.18163891$ .

$f' (3.4494898) = 81.39388371$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $81.39388371$ .

$81.39388371$

Paso 8.3

En $x = 3.4494898$ la derivada es $81.39388371$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(\sqrt{6}, \infty)$ .

Incremento en $(\sqrt{6}, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \sqrt{6}, 0), (\sqrt{6}, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, - \sqrt{6}), (0, \sqrt{6})$

Paso 10

Ingresa TU problema