Cálculo Ejemplos

$y = x^{2} - 5 x + 6$

Paso 1

Establece $y$ como una función de $x$ .

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

Paso 2

Obtén la derivada.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 5 x + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.2.3

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$2 x - 5 + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x - 5 + 0$

Paso 2.3.2

Suma $2 x - 5$ y $0$ .

$2 x - 5$

Paso 3

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $2 x - 5 = 0$ .

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Paso 3.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 5$

Paso 3.2

Divide cada término en $2 x = 5$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $2 x = 5$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ en $x = \frac{5}{2}$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{5}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{5}{2}) = {(\frac{5}{2})}^{2} - 5 (\frac{5}{2}) + 6$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{5^{2}}{2^{2}} - 5 (\frac{5}{2}) + 6$

Paso 4.2.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{2^{2}} - 5 (\frac{5}{2}) + 6$

Paso 4.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - 5 (\frac{5}{2}) + 6$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $- 5 (\frac{5}{2})$ .

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Paso 4.2.1.4.1

Combina $- 5$ y $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} + \frac{- 5 \cdot 5}{2} + 6$

Paso 4.2.1.4.2

Multiplica $- 5$ por $5$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} + \frac{- 25}{2} + 6$

Paso 4.2.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 6$

Paso 4.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 4.2.2.1

Multiplica $\frac{25}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - (\frac{25}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 6$

Paso 4.2.2.2

Multiplica $\frac{25}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 6$

Paso 4.2.2.3

Escribe $6$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{6}{1}$

Paso 4.2.2.4

Multiplica $\frac{6}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{6}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 4.2.2.5

Multiplica $\frac{6}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{6 \cdot 4}{4}$

Paso 4.2.2.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{4} + \frac{6 \cdot 4}{4}$

Paso 4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25 - 25 \cdot 2 + 6 \cdot 4}{4}$

Paso 4.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.4.1

Multiplica $- 25$ por $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25 - 50 + 6 \cdot 4}{4}$

Paso 4.2.4.2

Multiplica $6$ por $4$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25 - 50 + 24}{4}$

Paso 4.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.5.1

Resta $50$ de $25$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{- 25 + 24}{4}$

Paso 4.2.5.2

Suma $- 25$ y $24$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{- 1}{4}$

Paso 4.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{1}{4}$

Paso 4.2.6

La respuesta final es $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

Paso 5

La tangente horizontal en la función $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ es $y = - \frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{1}{4}$

Paso 6

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