Cálculo Ejemplos

$y = 3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} - 2 x + 9$

Coloca $y$ como función de $x$ .

$f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} - 2 x + 9$

Encuentra la derivada.

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Por la regla de la suma, la derivada de $3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} - 2 x + 9$ respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Evalúe $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Dado que $3$ es constante respecto a $3 x^{4}$ , la derivada de $x$ respecto a $3 x^{4}$ es $x$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Diferencie usando la regla de la potencia que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Multiplica $4$ por $3$ para obtener $12$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Evalúe $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Dado que $- 4$ es constante respecto a $- 4 x^{3}$ , la derivada de $x$ respecto a $- 4 x^{3}$ es $x$ .

$12 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Diferencie usando la regla de la potencia que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$12 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Multiplica $3$ por $- 4$ para obtener $- 12$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Diferencie usando la regla de la potencia que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Evalúe $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Dado que $- 2$ es constante respecto a $- 2 x$ , la derivada de $x$ respecto a $- 2 x$ es $x$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

Diferencie usando la regla de la potencia que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

Multiplica $- 2$ por $1$ para obtener $- 2$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 2 + \frac{d}{d x} [9]$

Ya que $9$ es constante respecto a $x$ , la derivada de $9$ respecto a $x$ es $9$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 2 + 0$

Suma $12 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 2$ y $0$ para obtener $12 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 2$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 2$

Iguala la derivada a $0$ y resuelve la ecuación $12 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 2 = 0$ .

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Factorizar el lado izquierdo de la ecuación.

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Factoriza $2$ a partir de $12 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 2$ .

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Factoriza $2$ a partir de $12 x^{3}$ .

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Factoriza $2$ a partir de $12$ .

$2 (6) x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 2 = 0$

Mueve $2$ .

$2 ((6) x^{3}) - 12 x^{2} + 2 x - 2 = 0$

Multiplica $6$ por $x^{3}$ para obtener $6 x^{3}$ .

$2 (6 x^{3}) - 12 x^{2} + 2 x - 2 = 0$

Factoriza $2$ a partir de $- 12 x^{2}$ .

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Factoriza $2$ a partir de $- 12$ .

$2 (6 x^{3}) + 2 (- 6) x^{2} + 2 x - 2 = 0$

Mueve $2$ .

$2 (6 x^{3}) + 2 ((- 6) x^{2}) + 2 x - 2 = 0$

Multiplica $- 6$ por $x^{2}$ para obtener $- 6 x^{2}$ .

$2 (6 x^{3}) + 2 (- 6 x^{2}) + 2 x - 2 = 0$

Factoriza $2$ a partir de $2 x$ .

$2 (6 x^{3}) + 2 (- 6 x^{2}) + 2 (x) - 2 = 0$

Factoriza $2$ a partir de $- 2$ .

$2 (6 x^{3}) + 2 (- 6 x^{2}) + 2 (x) + 2 (- 1) = 0$

Factoriza $2$ a partir de $2 (6 x^{3}) + 2 (- 6 x^{2})$ .

$2 (6 x^{3} - 6 x^{2}) + 2 (x) + 2 (- 1) = 0$

Factoriza $2$ a partir de $2 (6 x^{3} - 6 x^{2}) + 2 (x)$ .

$2 (6 x^{3} - 6 x^{2} + x) + 2 (- 1) = 0$

Factoriza $2$ a partir de $2 (6 x^{3} - 6 x^{2} + x) + 2 (- 1)$ .

$2 (6 x^{3} - 6 x^{2} + x - 1) = 0$

Factorizar el máximo común denominador de cada grupo.

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Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos.

$2 ((6 x^{3} - 6 x^{2}) + (x - 1)) = 0$

Factorizar el máximo común denominador (MCD) de cada grupo.

$2 (6 x^{2} (x - 1) + 1 (x - 1)) = 0$

Factorizar.

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Factorizar el polinomio factorizando el máximo común denominador, $x - 1$ .

$2 ((x - 1) (6 x^{2} + 1)) = 0$

Quita paréntesis innecesarios.

$2 (x - 1) (6 x^{2} + 1) = 0$

Divide ambos lados de la ecuación entre $2$ . Dividir $0$ entre cualquier número distinto de cero es $0$ .

$(x - 1) (6 x^{2} + 1) = 0$

Establezca la $x - 1$ igual a $0$ y resuelva para $x$ .

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Establezca el factor igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Dado que $- 1$ no contiene la variable por la que queremos resolver, múevelo al lado derecho de la ecuación sumando $1$ a ambos lados.

$x = 1$

Establezca la $6 x^{2} + 1$ igual a $0$ y resuelva para $x$ .

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Establezca el factor igual a $0$ .

$6 x^{2} + 1 = 0$

Dado que $1$ no contiene la variable por la que queremos resolver, múevelo al lado derecho de la ecuación restando $1$ a ambos lados.

$6 x^{2} = - 1$

Dividir cada término por $6$ y simplificar.

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Dividir cada término de $6 x^{2} = - 1$ por $6$ .

$\frac{6 x^{2}}{6} = - \frac{1}{6}$

Reduce la expresión anulando los factores comunes.

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Cancele el factor común.

$\frac{6 x^{2}}{6} = - \frac{1}{6}$

Dividir $x^{2}$ entre $1$ para obtener el primero.

$x^{2} = - \frac{1}{6}$

Sacar la raíz cuadrada de ambos lados para eliminar el exponente del lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{6}}$

La solución completa es el resultado de las porciones positivas o negativas de la solución.

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Simplifique el lado derecho de la ecuación.

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Reescribe $- \frac{1}{6}$ como $i^{2} \frac{1^{2}}{6}$ .

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Reescribe $- 1$ como $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} (\frac{1}{6})}$

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} (\frac{1^{2}}{6})}$

Saca los términos del radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{6}}$

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{6}}$

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{6}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{6}})$

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{6}})$

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

Simplifica.

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Combina.

$x = \pm i (\frac{1 \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}})$

Elevar $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i (\frac{1 \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}})$

Elevar $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm i (\frac{1 \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}})$

Usar la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm i (\frac{1 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}})$

Suma $1$ y $1$ para obtener $2$ .

$x = \pm i (\frac{1 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}})$

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

$x = \pm i (\frac{1 \sqrt{6}}{6})$

Multiplica $\sqrt{6}$ por $1$ para obtener $\sqrt{6}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{6}}{6})$

Simplifica $i \frac{\sqrt{6}}{6}$ .

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Escribe $i$ como una fracción con denominador $1$ .

$x = \pm \frac{i}{1} \cdot \frac{\sqrt{6}}{6}$

Multiplicar $\frac{i}{1}$ y $\frac{\sqrt{6}}{6}$ para obtener $\frac{i \sqrt{6}}{6}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{6}}{6}$

La solución completa es el resultado de las porciones positivas o negativas de la solución.

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Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para hallar la primera solución.

$x = \frac{i \sqrt{6}}{6}$

Después, usa el valor negativo de $\pm$ para encontrar la segunda solución.

$x = - \frac{i \sqrt{6}}{6}$

La solución completa es el resultado de las porciones positivas o negativas de la solución.

$x = \frac{i \sqrt{6}}{6}; - \frac{i \sqrt{6}}{6}$

La solución es el resultado de $x - 1 = 0$ y $6 x^{2} + 1 = 0$ .

$x = 1; \frac{i \sqrt{6}}{6}; - \frac{i \sqrt{6}}{6}$

Resuelva la función original $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} - 2 x + 9$ en $x = 1$ .

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Sustituye la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = 3 {(1)}^{4} - 4 {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 9$

Simplifica el resultado.

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Simplifique cada término.

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Quita el paréntesis de $1$ .

$f (1) = 3 \cdot 1^{4} - 4 {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 9$

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 3 \cdot 1 - 4 {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 9$

Multiplica $3$ por $1$ para obtener $3$ .

$f (1) = 3 - 4 {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 9$

Quita el paréntesis de $1$ .

$f (1) = 3 - 4 \cdot 1^{3} + {(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 9$

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 3 - 4 \cdot 1 + {(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 9$

Multiplica $- 4$ por $1$ para obtener $- 4$ .

$f (1) = 3 - 4 + {(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 9$

Quita el paréntesis de $1$ .

$f (1) = 3 - 4 + 1^{2} - 2 \cdot 1 + 9$

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 3 - 4 + 1 - 2 \cdot 1 + 9$

Multiplica $- 2$ por $1$ para obtener $- 2$ .

$f (1) = 3 - 4 + 1 - 2 + 9$

Simplifique añadiendo y sustrayendo.

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Resta $4$ de $3$ para obtener $- 1$ .

$f (1) = - 1 + 1 - 2 + 9$

Suma $- 1$ y $1$ para obtener $0$ .

$f (1) = 0 - 2 + 9$

Resta $2$ de $0$ para obtener $- 2$ .

$f (1) = - 2 + 9$

Suma $- 2$ y $9$ para obtener $7$ .

$f (1) = 7$

La respuesta final es $7$ .

$7$

No se puede encontrar una tangente en un punto imaginario. El punto en $x = 1$ no existe en el sistema de coordenadas real.

No se puede encontrar una tangente desde la raíz $1$

La línea tangente horizontal en la función $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} - 2 x + 9$ es $y = 7$ .

$y = 7$

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