Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{4} - 5 x^{2}}{7 x^{4} + 14}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 x^{4} - 5 x^{2}}{lim_{x \to \infty} 7 x^{4} + 14}$

Paso 1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 7 x^{4} + 14}$

Paso 1.3

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{4} - 5 x^{2}}{7 x^{4} + 14} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{4} - 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{4} - 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x^{4} - 5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{4}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Paso 3.3.3

Multiplica $4$ por $6$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Paso 3.4.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 5 (2 x)}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Paso 3.4.3

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Paso 3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x^{4} + 14$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [14]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{\frac{d}{d x} [7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [14]}$

Paso 3.6

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 x^{4}]$ .

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Paso 3.6.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x^{4}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{7 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [14]}$

Paso 3.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{7 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [14]}$

Paso 3.6.3

Multiplica $4$ por $7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3} + \frac{d}{d x} [14]}$

Paso 3.7

Como $14$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $14$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3} + 0}$

Paso 3.8

Suma $28 x^{3}$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3}}$

Paso 4

Mueve el término $\frac{1}{28}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{x^{3}}$

Paso 5

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{3}$ .

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{24 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 10 x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 6.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{24 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 10 x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Paso 6.1.1.2

Divide $24$ por $1$ .

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{- 10 x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Paso 6.1.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{3}$ .

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Paso 6.1.2.1

Factoriza $x$ de $- 10 x$ .

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{x \cdot - 10}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Paso 6.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{x \cdot - 10}{x \cdot x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Paso 6.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{x \cdot - 10}{x \cdot x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Paso 6.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{- 10}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Paso 6.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 - \frac{10}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 - \frac{10}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Paso 6.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 - \frac{10}{x^{2}}}{1}$

Paso 6.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{1}{28} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 24 - \frac{10}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 6.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{1}{28} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 24 - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 6.5

Evalúa el límite de $24$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 6.6

Mueve el término $10$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - 10 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 8

Evalúa el límite.

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Paso 8.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - 10 \cdot 0}{1}$

Paso 8.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.2.1

Divide $24 - 10 \cdot 0$ por $1$ .

$\frac{1}{28} (24 - 10 \cdot 0)$

Paso 8.2.2

Multiplica $- 10$ por $0$ .

$\frac{1}{28} (24 + 0)$

Paso 8.2.3

Suma $24$ y $0$ .

$\frac{1}{28} \cdot 24$

Paso 8.2.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 8.2.4.1

Factoriza $4$ de $28$ .

$\frac{1}{4 (7)} \cdot 24$

Paso 8.2.4.2

Factoriza $4$ de $24$ .

$\frac{1}{4 \cdot 7} \cdot (4 \cdot 6)$

Paso 8.2.4.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4 \cdot 7} \cdot (4 \cdot 6)$

Paso 8.2.4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{7} \cdot 6$

Paso 8.2.5

Combina $\frac{1}{7}$ y $6$ .

$\frac{6}{7}$

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