Cálculo Ejemplos

${(x - y)}^{2} = x + y - 1$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} ({(x - y)}^{2}) = \frac{d}{d y} (x + y - 1)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Reescribe ${(x - y)}^{2}$ como $(x - y) (x - y)$ .

$\frac{d}{d y} [(x - y) (x - y)]$

Paso 2.2

Expande $(x - y) (x - y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d y} [x (x - y) - y (x - y)]$

Paso 2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d y} [x \cdot x + x (- y) - y (x - y)]$

Paso 2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d y} [x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)]$

Paso 2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)]$

Paso 2.3.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - y (- y)]$

Paso 2.3.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y]$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.1.4.1

Mueve $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)]$

Paso 2.3.1.4.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}]$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}]$

Paso 2.3.1.6

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x + y^{2}]$

Paso 2.3.2

Resta $y x$ de $- x y$ .

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Paso 2.3.2.1

Mueve $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}]$

Paso 2.3.2.2

Resta $x y$ de $- x y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} - 2 x y + y^{2}]$

Paso 2.4

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2 x y + y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{2}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 2.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.6

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$2 x x' + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.7

Como $- 2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2 x y$ con respecto a $y$ es $- 2 \frac{d}{d y} [x y]$ .

$2 x x' - 2 \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.8

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = x$ y $g (y) = y$ .

$2 x x' - 2 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.9.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x x' - 2 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.9.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$2 x x' - 2 (x + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.10

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$2 x x' - 2 (x + y x') + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x x' - 2 (x + y x') + 2 y$

Paso 2.12

Simplifica.

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Paso 2.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x x' - 2 x - 2 (y x') + 2 y$

Paso 2.12.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 x x' - 2 x - 2 y x' + 2 y$

Paso 2.12.3

Reordena los términos.

$2 x x' - 2 y x' - 2 x + 2 y$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y - 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x' + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x' + 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Paso 3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$x' + 1 + 0$

Paso 3.5

Suma $x' + 1$ y $0$ .

$x' + 1$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 x x' - 2 y x' - 2 x + 2 y = x' + 1$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Resta $x'$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x x' - 2 y x' - 2 x + 2 y - x' = 1$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que no contengan $x'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Suma $2 x$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x x' - 2 y x' + 2 y - x' = 1 + 2 x$

Paso 5.2.2

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x x' - 2 y x' - x' = 1 + 2 x - 2 y$

Paso 5.3

Factoriza $x'$ de $2 x x' - 2 y x' - x'$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $x'$ de $2 x x'$ .

$x' (2 x) - 2 y x' - x' = 1 + 2 x - 2 y$

Paso 5.3.2

Factoriza $x'$ de $- 2 y x'$ .

$x' (2 x) + x' (- 2 y) - x' = 1 + 2 x - 2 y$

Paso 5.3.3

Factoriza $x'$ de $- x'$ .

$x' (2 x) + x' (- 2 y) + x' \cdot - 1 = 1 + 2 x - 2 y$

Paso 5.3.4

Factoriza $x'$ de $x' (2 x) + x' (- 2 y)$ .

$x' (2 x - 2 y) + x' \cdot - 1 = 1 + 2 x - 2 y$

Paso 5.3.5

Factoriza $x'$ de $x' (2 x - 2 y) + x' \cdot - 1$ .

$x' (2 x - 2 y - 1) = 1 + 2 x - 2 y$

Paso 5.4

Divide cada término en $x' (2 x - 2 y - 1) = 1 + 2 x - 2 y$ por $2 x - 2 y - 1$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $x' (2 x - 2 y - 1) = 1 + 2 x - 2 y$ por $2 x - 2 y - 1$ .

$\frac{x' (2 x - 2 y - 1)}{2 x - 2 y - 1} = \frac{1}{2 x - 2 y - 1} + \frac{2 x}{2 x - 2 y - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 2 y - 1}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $2 x - 2 y - 1$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' (2 x - 2 y - 1)}{2 x - 2 y - 1} = \frac{1}{2 x - 2 y - 1} + \frac{2 x}{2 x - 2 y - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 2 y - 1}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{2 x - 2 y - 1} + \frac{2 x}{2 x - 2 y - 1} + \frac{- 2 y}{2 x - 2 y - 1}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = \frac{1}{2 x - 2 y - 1} + \frac{2 x}{2 x - 2 y - 1} - \frac{2 y}{2 x - 2 y - 1}$

Paso 5.4.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x' = \frac{1 + 2 x}{2 x - 2 y - 1} - \frac{2 y}{2 x - 2 y - 1}$

Paso 5.4.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x' = \frac{1 + 2 x - 2 y}{2 x - 2 y - 1}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 x - 2 y}{2 x - 2 y - 1}$

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