Cálculo Ejemplos

$y = 4 x - 2$ , $(1, 3)$

Paso 1

La media cuadrática (RMS) de una función $f$ en un intervalo especificado $[a, b]$ es la raíz cuadrada de la media aritmética (promedio) de los cuadrados de los valores originales.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Paso 2

Sustituye los valores reales en la fórmula por la media cuadrática de una función.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{3 - 1} \cdot (\int_{1}^{3} {(4 x - 2)}^{2} d x)}$

Paso 3

Evalúa la integral.

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Paso 3.1

Sea $u = 4 x - 2$ . Entonces $d u = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1.1

Deja $u = 4 x - 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1.1

Diferencia $4 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Paso 3.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 3.1.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.1.1.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 3.1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.1.1.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 + 0$

Paso 3.1.1.4.2

Suma $4$ y $0$ .

$4$

Paso 3.1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 4 x - 2$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 1 - 2$

Paso 3.1.3

Simplifica.

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Paso 3.1.3.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$u_{lower} = 4 - 2$

Paso 3.1.3.2

Resta $2$ de $4$ .

$u_{lower} = 2$

Paso 3.1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 4 x - 2$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 3 - 2$

Paso 3.1.5

Simplifica.

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Paso 3.1.5.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$u_{upper} = 12 - 2$

Paso 3.1.5.2

Resta $2$ de $12$ .

$u_{upper} = 10$

Paso 3.1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 10$

Paso 3.1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{2}^{10} u^{2} \frac{1}{4} d u$

Paso 3.2

Combina $u^{2}$ y $\frac{1}{4}$ .

$\int_{2}^{10} \frac{u^{2}}{4} d u$

Paso 3.3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int_{2}^{10} u^{2} d u$

Paso 3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{2}^{10}$

Paso 3.5

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.5.1

Evalúa $\frac{1}{3} u^{3}$ en $10$ y en $2$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 10^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Paso 3.5.2

Simplifica.

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Paso 3.5.2.1

Eleva $10$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 1000 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Paso 3.5.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $1000$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Paso 3.5.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8)$

Paso 3.5.2.4

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - 8 (\frac{1}{3}))$

Paso 3.5.2.5

Combina $- 8$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} + \frac{- 8}{3})$

Paso 3.5.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{8}{3})$

Paso 3.5.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1000 - 8}{3}$

Paso 3.5.2.8

Resta $8$ de $1000$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{992}{3}$

Paso 3.5.2.9

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{992}{3}$ .

$\frac{992}{4 \cdot 3}$

Paso 3.5.2.10

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{992}{12}$

Paso 3.5.2.11

Cancela el factor común de $992$ y $12$ .

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Paso 3.5.2.11.1

Factoriza $4$ de $992$ .

$\frac{4 (248)}{12}$

Paso 3.5.2.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.11.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}$

Paso 3.5.2.11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}$

Paso 3.5.2.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{248}{3}$

Paso 4

Simplifica la fórmula de la raíz cuadrada media.

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{1}{3 - 1}$ por $\frac{248}{3}$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{248}{(3 - 1) \cdot 3}}$

Paso 4.2

Resta $1$ de $3$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{248}{2 \cdot 3}}$

Paso 4.3

Reduce la expresión $\frac{248}{2 \cdot 3}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.3.1

Factoriza $2$ de $248$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 \cdot 3}}$

Paso 4.3.2

Factoriza $2$ de $2 \cdot 3$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 (3)}}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 \cdot 3}}$

Paso 4.3.4

Reescribe la expresión.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{124}{3}}$

Paso 4.4

Reescribe $\sqrt{\frac{124}{3}}$ como $\frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}$

Paso 4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1

Reescribe $124$ como $2^{2} \cdot 31$ .

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Paso 4.5.1.1

Factoriza $4$ de $124$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{4 (31)}}{\sqrt{3}}$

Paso 4.5.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 31}}{\sqrt{3}}$

Paso 4.5.2

Retira los términos de abajo del radical.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$

Paso 4.6

Multiplica $\frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 4.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 4.7.1

Multiplica $\frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 4.7.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 4.7.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 4.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 4.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 4.7.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 4.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.7.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.7.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.7.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.7.6.4.1

Cancela el factor común.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.7.6.4.2

Reescribe la expresión.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.7.6.5

Evalúa el exponente.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3}$

Paso 4.8

Simplifica el numerador.

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Paso 4.8.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{3 \cdot 31}}{3}$

Paso 4.8.2

Multiplica $3$ por $31$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{93}}{3}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{93}}{3}$

Forma decimal:

$f_{rms} = 6.42910050 \dots$

Paso 6

Ingresa TU problema