Cálculo Ejemplos

$y = x^{2} + x$ , $y = x + 2$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$x^{2} + x = x + 2$

Paso 1.2

Resuelve $x^{2} + x = x + 2$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + x - x = 2$

Paso 1.2.1.2

Combina los términos opuestos en $x^{2} + x - x$ .

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Paso 1.2.1.2.1

Resta $x$ de $x$ .

$x^{2} + 0 = 2$

Paso 1.2.1.2.2

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$x^{2} = 2$

Paso 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Paso 1.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{2}$

Paso 1.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{2}$

Paso 1.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = \sqrt{2}$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $\sqrt{2}$ por $x$ .

$y = (\sqrt{2}) + 2$

Paso 1.3.2

Sustituye $\sqrt{2}$ por $x$ en $y = (\sqrt{2}) + 2$ , y resuelve $y$ .

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Paso 1.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = \sqrt{2} + 2$

Paso 1.3.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = (\sqrt{2}) + 2$

Paso 1.3.2.3

Elimina los paréntesis.

$y = \sqrt{2} + 2$

Paso 1.4

Evalúa $y$ cuando $x = - \sqrt{2}$ .

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Paso 1.4.1

Sustituye $- \sqrt{2}$ por $x$ .

$y = (- \sqrt{2}) + 2$

Paso 1.4.2

Sustituye $- \sqrt{2}$ por $x$ en $y = (- \sqrt{2}) + 2$ , y resuelve $y$ .

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Paso 1.4.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = - \sqrt{2} + 2$

Paso 1.4.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = (- \sqrt{2}) + 2$

Paso 1.4.2.3

Elimina los paréntesis.

$y = - \sqrt{2} + 2$

Paso 1.5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(\sqrt{2}, \sqrt{2} + 2)$

$(- \sqrt{2}, - \sqrt{2} + 2)$

$(\sqrt{2}, \sqrt{2} + 2)$

$(- \sqrt{2}, - \sqrt{2} + 2)$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x + 2 d x - \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^{2} + x d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $- \sqrt{2}$ y $\sqrt{2}$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x + 2 - (x^{2} + x) d x$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x + 2 - x^{2} - x d x$

Paso 3.3

Combina los términos opuestos en $x + 2 - x^{2} - x$ .

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Paso 3.3.1

Resta $x$ de $x$ .

$2 - x^{2} + 0$

Paso 3.3.2

Suma $2 - x^{2}$ y $0$ .

$2 - x^{2}$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 2 - x^{2} d x$

Paso 3.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 2 d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - x^{2} d x$

Paso 3.5

Aplica la regla de la constante.

$2 x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - x^{2} d x$

Paso 3.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^{2} d x$

Paso 3.7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Paso 3.8

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.8.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$2 x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Paso 3.8.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.8.2.1

Evalúa $2 x$ en $\sqrt{2}$ y en $- \sqrt{2}$ .

$(2 \sqrt{2}) - 2 (- \sqrt{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Paso 3.8.2.2

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $\sqrt{2}$ y en $- \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} - 2 (- \sqrt{2}) - (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

Paso 3.8.2.3

Simplifica.

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Paso 3.8.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

Paso 3.8.2.3.2

Suma $2 \sqrt{2}$ y $2 \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

Paso 3.8.2.3.3

Reescribe ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{2^{3}}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

Paso 3.8.2.3.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

Paso 3.8.2.3.5

Factoriza $- 1$ de $- \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- (\sqrt{2}))}^{3}}{3})$

Paso 3.8.2.3.6

Aplica la regla del producto a $- (\sqrt{2})$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}}{3})$

Paso 3.8.2.3.7

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- {\sqrt{2}}^{3}}{3})$

Paso 3.8.2.3.8

Reescribe ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- \sqrt{2^{3}}}{3})$

Paso 3.8.2.3.9

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- \sqrt{8}}{3})$

Paso 3.8.2.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - - \frac{\sqrt{8}}{3})$

Paso 3.8.2.3.11

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} + 1 \frac{\sqrt{8}}{3})$

Paso 3.8.2.3.12

Multiplica $\frac{\sqrt{8}}{3}$ por $1$ .

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} + \frac{\sqrt{8}}{3})$

Paso 3.8.2.3.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 \sqrt{2} - \frac{\sqrt{8} + \sqrt{8}}{3}$

Paso 3.8.2.3.14

Suma $\sqrt{8}$ y $\sqrt{8}$ .

$4 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{8}}{3}$

Paso 3.8.3

Simplifica.

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Paso 3.8.3.1

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 3.8.3.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$4 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{4 (2)}}{3}$

Paso 3.8.3.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$4 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{3}$

Paso 3.8.3.2

Retira los términos de abajo del radical.

$4 \sqrt{2} - \frac{2 (2 \sqrt{2})}{3}$

Paso 3.8.3.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 \sqrt{2} - \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

Paso 3.8.3.4

Para escribir $4 \sqrt{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$4 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

Paso 3.8.3.5

Combina $4 \sqrt{2}$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} \cdot 3}{3} - \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

Paso 3.8.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4 \sqrt{2} \cdot 3 - 4 \sqrt{2}}{3}$

Paso 3.8.3.7

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{12 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}}{3}$

Paso 3.8.3.8

Resta $4 \sqrt{2}$ de $12 \sqrt{2}$ .

$\frac{8 \sqrt{2}}{3}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{8 \sqrt{2}}{3}$

Forma decimal:

$3.77123616 \dots$

Paso 5

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