初级微积分示例

$3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y - 5 = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $5$ 。

$3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y = 5$

解题步骤 2

对 $3 x^{2} - 6 x$ 进行配方。

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解题步骤 2.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 3$

$b = - 6$

$c = 0$

解题步骤 2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 2.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 2.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $- 6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot 3$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (3)}$

解题步骤 2.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 3}{3}$

解题步骤 2.3.2.2

约去 $- 3$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3}$

解题步骤 2.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)}$

解题步骤 2.3.2.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.2.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 1}{1}$

解题步骤 2.3.2.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$d = - 1$

解题步骤 2.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 2.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 3}$

解题步骤 2.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.1.1

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 3}$

解题步骤 2.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$e = 0 - \frac{36}{12}$

解题步骤 2.4.2.1.3

用 $36$ 除以 $12$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 3$

解题步骤 2.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$e = 0 - 3$

解题步骤 2.4.2.2

从 $0$ 中减去 $3$ 。

$e = - 3$

解题步骤 2.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $3 {(x - 1)}^{2} - 3$ 。

$3 {(x - 1)}^{2} - 3$

解题步骤 3

在方程 $3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y = 5$ 中，用 $3 {(x - 1)}^{2} - 3$ 代替 $3 x^{2} - 6 x$ 。

$3 {(x - 1)}^{2} - 3 + 4 y^{2} + 8 y = 5$

解题步骤 4

通过在等式两边同时加上 $3$ 的方法来将 $- 3$ 移到等式右边。

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 y^{2} + 8 y = 5 + 3$

解题步骤 5

对 $4 y^{2} + 8 y$ 进行配方。

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解题步骤 5.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 4$

$b = 8$

$c = 0$

解题步骤 5.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 5.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 5.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.3.2

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

解题步骤 5.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{4}{4}$

解题步骤 5.3.2.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

约去公因数。

$d = \frac{4}{4}$

解题步骤 5.3.2.2.2

重写表达式。

$d = 1$

解题步骤 5.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 5.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

解题步骤 5.4.2

化简右边。

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解题步骤 5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.2.1.1

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

解题步骤 5.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$e = 0 - \frac{64}{16}$

解题步骤 5.4.2.1.3

用 $64$ 除以 $16$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 4$

解题步骤 5.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$e = 0 - 4$

解题步骤 5.4.2.2

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$e = - 4$

解题步骤 5.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $4 {(y + 1)}^{2} - 4$ 。

$4 {(y + 1)}^{2} - 4$

解题步骤 6

在方程 $3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 8 y = 5$ 中，用 $4 {(y + 1)}^{2} - 4$ 代替 $4 y^{2} + 8 y$ 。

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} - 4 = 5 + 3$

解题步骤 7

通过在等式两边同时加上 $4$ 的方法来将 $- 4$ 移到等式右边。

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 5 + 3 + 4$

解题步骤 8

化简 $5 + 3 + 4$ 。

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解题步骤 8.1

将 $5$ 和 $3$ 相加。

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 8 + 4$

解题步骤 8.2

将 $8$ 和 $4$ 相加。

$3 {(x - 1)}^{2} + 4 {(y + 1)}^{2} = 12$

解题步骤 9

将每一项除以 $12$ 以使方程右边等于一。

$\frac{3 {(x - 1)}^{2}}{12} + \frac{4 {(y + 1)}^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

解题步骤 10

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{3} = 1$

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