初级微积分示例

$(2, 3)$ , $(- 1, - 5)$

解题步骤 1

顶点为 $(h, k)$ 的二次抛物线的一般方程是 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 。在本例中，已知 $(2, 3)$ 为顶点 $(h, k)$ 且 $(- 1, - 5)$ 是抛物线上的点 $(x, y)$ 。若要求 $a$ ，将两点代入 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 。

$- 5 = a {(- 1 - (2))}^{2} + 3$

解题步骤 2

使用 $- 5 = a {(- 1 - (2))}^{2} + 3$ 求解 $a$ 、 $a = - \frac{8}{9}$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $a {(- 1 - (2))}^{2} + 3 = - 5$ 。

$a {(- 1 - (2))}^{2} + 3 = - 5$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$a {(- 1 - 2)}^{2} + 3 = - 5$

解题步骤 2.2.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$a {(- 3)}^{2} + 3 = - 5$

解题步骤 2.2.3

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$a \cdot 9 + 3 = - 5$

解题步骤 2.2.4

将 $9$ 移到 $a$ 的左侧。

$9 a + 3 = - 5$

解题步骤 2.3

将所有不包含 $a$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$9 a = - 5 - 3$

解题步骤 2.3.2

从 $- 5$ 中减去 $3$ 。

$9 a = - 8$

解题步骤 2.4

将 $9 a = - 8$ 中的每一项除以 $9$ 并化简。

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解题步骤 2.4.1

将 $9 a = - 8$ 中的每一项都除以 $9$ 。

$\frac{9 a}{9} = \frac{- 8}{9}$

解题步骤 2.4.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.1

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{9 a}{9} = \frac{- 8}{9}$

解题步骤 2.4.2.1.2

用 $a$ 除以 $1$ 。

$a = \frac{- 8}{9}$

解题步骤 2.4.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.3.1

将负号移到分数的前面。

$a = - \frac{8}{9}$

解题步骤 3

使用 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ ，即顶点为 $(2, 3)$ 的抛物线的一般方程且 $a = - \frac{8}{9}$ 为 $y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$ 。

$y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$

解题步骤 4

求解 $y$ 的 $y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$ 。

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解题步骤 4.1

去掉圆括号。

$y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$

解题步骤 4.2

将 $- \frac{8}{9}$ 乘以 ${(x - (2))}^{2}$ 。

$y = - \frac{8}{9} \cdot {(x - (2))}^{2} + 3$

解题步骤 4.3

去掉圆括号。

$y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$

解题步骤 4.4

化简 $(- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$ 。

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解题步骤 4.4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.4.1.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y = - \frac{8}{9} {(x - 2)}^{2} + 3$

解题步骤 4.4.1.2

将 ${(x - 2)}^{2}$ 重写为 $(x - 2) (x - 2)$ 。

$y = - \frac{8}{9} ((x - 2) (x - 2)) + 3$

解题步骤 4.4.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(x - 2) (x - 2)$ 。

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解题步骤 4.4.1.3.1

运用分配律。

$y = - \frac{8}{9} (x (x - 2) - 2 (x - 2)) + 3$

解题步骤 4.4.1.3.2

运用分配律。

$y = - \frac{8}{9} (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) + 3$

解题步骤 4.4.1.3.3

运用分配律。

$y = - \frac{8}{9} (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 3$

解题步骤 4.4.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.4.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.4.1.4.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y = - \frac{8}{9} (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 3$

解题步骤 4.4.1.4.1.2

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = - \frac{8}{9} (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) + 3$

解题步骤 4.4.1.4.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$y = - \frac{8}{9} (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) + 3$

解题步骤 4.4.1.4.2

从 $- 2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$y = - \frac{8}{9} (x^{2} - 4 x + 4) + 3$

解题步骤 4.4.1.5

运用分配律。

$y = - \frac{8}{9} x^{2} - \frac{8}{9} (- 4 x) - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

解题步骤 4.4.1.6

化简。

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解题步骤 4.4.1.6.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{8}{9}$ 。

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} - \frac{8}{9} (- 4 x) - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

解题步骤 4.4.1.6.2

乘以 $- \frac{8}{9} (- 4 x)$ 。

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解题步骤 4.4.1.6.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + 4 (\frac{8}{9}) x - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

解题步骤 4.4.1.6.2.2

组合 $4$ 和 $\frac{8}{9}$ 。

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{4 \cdot 8}{9} x - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

解题步骤 4.4.1.6.2.3

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{32}{9} x - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

解题步骤 4.4.1.6.2.4

组合 $\frac{32}{9}$ 和 $x$ 。

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{32 x}{9} - \frac{8}{9} \cdot 4 + 3$

解题步骤 4.4.1.6.3

乘以 $- \frac{8}{9} \cdot 4$ 。

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解题步骤 4.4.1.6.3.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{32 x}{9} - 4 (\frac{8}{9}) + 3$

解题步骤 4.4.1.6.3.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{8}{9}$ 。

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 4 \cdot 8}{9} + 3$

解题步骤 4.4.1.6.3.3

将 $- 4$ 乘以 $8$ 。

$y = - \frac{x^{2} \cdot 8}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 32}{9} + 3$

解题步骤 4.4.1.7

化简每一项。

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解题步骤 4.4.1.7.1

将 $8$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$y = - \frac{8 \cdot x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 32}{9} + 3$

解题步骤 4.4.1.7.2

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} - \frac{32}{9} + 3$

解题步骤 4.4.2

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} - \frac{32}{9} + 3 \cdot \frac{9}{9}$

解题步骤 4.4.3

组合 $3$ 和 $\frac{9}{9}$ 。

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} - \frac{32}{9} + \frac{3 \cdot 9}{9}$

解题步骤 4.4.4

在公分母上合并分子。

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 32 + 3 \cdot 9}{9}$

解题步骤 4.4.5

化简分子。

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解题步骤 4.4.5.1

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 32 + 27}{9}$

解题步骤 4.4.5.2

将 $- 32$ 和 $27$ 相加。

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} + \frac{- 5}{9}$

解题步骤 4.4.6

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{8 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{9} - \frac{5}{9}$

解题步骤 5

标准形式和顶点式详情如下。

标准形式： $y = - \frac{8}{9} x^{2} + \frac{32}{9} x - \frac{5}{9}$

顶点式： $y = (- \frac{8}{9}) {(x - (2))}^{2} + 3$

解题步骤 6

化简标准式。

标准形式： $y = - \frac{8}{9} x^{2} + \frac{32}{9} x - \frac{5}{9}$

顶点式： $y = - \frac{8}{9} {(x - 2)}^{2} + 3$

解题步骤 7

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