线性代数示例

$(2, 0, 1)$ , $(- 2, 1, 1)$

解题步骤 1

用交叉乘积公式求两个向量的夹角。

$θ = \arcsin (\frac{| a⃗ \times b⃗ |}{| a⃗ | | b⃗ |})$

解题步骤 2

求交叉乘积。

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解题步骤 2.1

向量 $a⃗$ 和 $b⃗$ 的交叉乘积可以写成包含 $ℝ^{3}$ 中标准单位向量以及给定向量的元素的行列式。

$a⃗ \times b⃗ = a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

解题步骤 2.2

用给定值设置行列式。

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 2 & 0 & 1 \\ - 2 & 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.3

选择包含最多 $0$ 元素的行或列。如果没有 $0$ 元素，选择任何一行或一列。将第 $1$ 行中的每个元素乘以其代数余子式，然后相加。

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解题步骤 2.3.1

考虑相应的符号表。

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 2.3.2

代数余子式是指在索引与符号图上的 $-$ 位置匹配的情况下符号发生更改的子式。

解题步骤 2.3.3

$a_{11}$ 的子式是已删除了行 $1$ 和列 $1$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.3.4

将元素 $a_{11}$ 乘以其代数余子式。

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | î$

解题步骤 2.3.5

$a_{12}$ 的子式是已删除了行 $1$ 和列 $2$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.3.6

将元素 $a_{12}$ 乘以其代数余子式。

$- | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ$

解题步骤 2.3.7

$a_{13}$ 的子式是已删除了行 $1$ 和列 $3$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

解题步骤 2.3.8

将元素 $a_{13}$ 乘以其代数余子式。

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

解题步骤 2.3.9

最后把这些项加起来。

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

解题步骤 2.4

计算 $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a⃗ \times b⃗ = (0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

解题步骤 2.4.2

化简行列式。

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解题步骤 2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.1.1

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$a⃗ \times b⃗ = (0 - 1 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

解题步骤 2.4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$a⃗ \times b⃗ = (0 - 1) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

解题步骤 2.4.2.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$a⃗ \times b⃗ = - î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

解题步骤 2.5

计算 $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.5.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 \cdot 1 - (- 2 \cdot 1)) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

解题步骤 2.5.2

化简行列式。

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解题步骤 2.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.2.1.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 - (- 2 \cdot 1)) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

解题步骤 2.5.2.1.2

乘以 $- (- 2 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 2.5.2.1.2.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 - - 2) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

解题步骤 2.5.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 + 2) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

解题步骤 2.5.2.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

解题步骤 2.6

计算 $| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 2.6.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 \cdot 1 - (- 2 \cdot 0)) k̂$

解题步骤 2.6.2

化简行列式。

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解题步骤 2.6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.2.1.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 - (- 2 \cdot 0)) k̂$

解题步骤 2.6.2.1.2

乘以 $- (- 2 \cdot 0)$ 。

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解题步骤 2.6.2.1.2.1

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 - 0) k̂$

解题步骤 2.6.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 + 0) k̂$

解题步骤 2.6.2.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + 2 k̂$

解题步骤 2.7

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$a⃗ \times b⃗ = - î - 4 ĵ + 2 k̂$

解题步骤 2.8

重写解答。

$a⃗ \times b⃗ = (- 1, - 4, 2)$

解题步骤 3

求交叉乘积的大小。

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解题步骤 3.1

模是向量中每个元素的平方和的平方根。

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 4)}^{2} + 2^{2}}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{1 + {(- 4)}^{2} + 2^{2}}$

解题步骤 3.2.2

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{1 + 16 + 2^{2}}$

解题步骤 3.2.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{1 + 16 + 4}$

解题步骤 3.2.4

将 $1$ 和 $16$ 相加。

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{17 + 4}$

解题步骤 3.2.5

将 $17$ 和 $4$ 相加。

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{21}$

解题步骤 4

求 $a⃗$ 的大小。

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解题步骤 4.1

模是向量中每个元素的平方和的平方根。

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} + 0^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 4.2.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0 + 1^{2}}$

解题步骤 4.2.3

一的任意次幂都为一。

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0 + 1}$

解题步骤 4.2.4

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 1}$

解题步骤 4.2.5

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

解题步骤 5

求 $b⃗$ 的大小。

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解题步骤 5.1

模是向量中每个元素的平方和的平方根。

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 5.2.2

一的任意次幂都为一。

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1 + 1^{2}}$

解题步骤 5.2.3

一的任意次幂都为一。

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1 + 1}$

解题步骤 5.2.4

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$| b⃗ | = \sqrt{5 + 1}$

解题步骤 5.2.5

将 $5$ 和 $1$ 相加。

$| b⃗ | = \sqrt{6}$

解题步骤 6

将值代入公式中。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{5} \sqrt{6}})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

把 $\sqrt{21}$ 和 $\sqrt{6}$ 组合为一个单根式。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{21}{6}}}{\sqrt{5}})$

解题步骤 7.2

约去 $21$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

从 $21$ 中分解出因数 $3$ 。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{3 (7)}{6}}}{\sqrt{5}})$

解题步骤 7.2.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 2}}}{\sqrt{5}})$

解题步骤 7.2.2.2

约去公因数。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 2}}}{\sqrt{5}})$

解题步骤 7.2.2.3

重写表达式。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{7}{2}}}{\sqrt{5}})$

解题步骤 7.3

化简分子。

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解题步骤 7.3.1

将 $\sqrt{\frac{7}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ 。

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

解题步骤 7.3.2

将 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

解题步骤 7.3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 7.3.3.1

将 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

解题步骤 7.3.3.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

解题步骤 7.3.3.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}{\sqrt{5}})$

解题步骤 7.3.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{\sqrt{5}})$

解题步骤 7.3.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{5}})$

解题步骤 7.3.3.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 7.3.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{5}})$

解题步骤 7.3.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{5}})$

解题步骤 7.3.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}})$

解题步骤 7.3.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.3.6.4.1

约去公因数。

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}})$

解题步骤 7.3.3.6.4.2

重写表达式。

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{1}}}{\sqrt{5}})$

解题步骤 7.3.3.6.5

计算指数。

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2}}{\sqrt{5}})$

解题步骤 7.3.4

化简分子。

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解题步骤 7.3.4.1

使用根数乘积法则进行合并。

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7 \cdot 2}}{2}}{\sqrt{5}})$

解题步骤 7.3.4.2

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{14}}{2}}{\sqrt{5}})$

解题步骤 7.4

将分子乘以分母的倒数。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}})$

解题步骤 7.5

将 $\frac{1}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}))$

解题步骤 7.6

合并和化简分母。

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解题步骤 7.6.1

将 $\frac{1}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

解题步骤 7.6.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

解题步骤 7.6.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

解题步骤 7.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

解题步骤 7.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})$

解题步骤 7.6.6

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 7.6.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 7.6.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 7.6.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 7.6.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.6.6.4.1

约去公因数。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 7.6.6.4.2

重写表达式。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{1}})$

解题步骤 7.6.6.5

计算指数。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5})$

解题步骤 7.7

乘以 $\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}$ 。

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解题步骤 7.7.1

将 $\frac{\sqrt{14}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ 。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14} \sqrt{5}}{2 \cdot 5})$

解题步骤 7.7.2

使用根数乘积法则进行合并。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14 \cdot 5}}{2 \cdot 5})$

解题步骤 7.7.3

将 $14$ 乘以 $5$ 。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{70}}{2 \cdot 5})$

解题步骤 7.7.4

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{70}}{10})$

解题步骤 7.8

计算 $\arcsin (\frac{\sqrt{70}}{10})$ 。

$θ = 56.78908923$

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