线性代数 示例

用 Gram-Schmidt 法求正交底数
, ,
解题步骤 1
为每个向量命名。
解题步骤 2
第一个正交向量是给定向量集合中的第一个向量。
解题步骤 3
用公式求其他正交向量。
解题步骤 4
求正交向量
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解题步骤 4.1
用公式求
解题步骤 4.2
代入 替换
解题步骤 4.3
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解题步骤 4.3.1
求点积。
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解题步骤 4.3.1.1
两个向量的乘积为其分量乘积之和。
解题步骤 4.3.1.2
化简。
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解题步骤 4.3.1.2.1
化简每一项。
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解题步骤 4.3.1.2.1.1
乘以
解题步骤 4.3.1.2.1.2
乘以
解题步骤 4.3.1.2.1.3
乘以
解题步骤 4.3.1.2.2
相加。
解题步骤 4.3.1.2.3
相加。
解题步骤 4.3.2
的范数。
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解题步骤 4.3.2.1
模是向量中每个元素的平方和的平方根。
解题步骤 4.3.2.2
化简。
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解题步骤 4.3.2.2.1
一的任意次幂都为一。
解题步骤 4.3.2.2.2
一的任意次幂都为一。
解题步骤 4.3.2.2.3
一的任意次幂都为一。
解题步骤 4.3.2.2.4
相加。
解题步骤 4.3.2.2.5
相加。
解题步骤 4.3.3
用投影线公式求 上的投影线。
解题步骤 4.3.4
代入 替换
解题步骤 4.3.5
代入 替换
解题步骤 4.3.6
代入 替换
解题步骤 4.3.7
化简右边。
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解题步骤 4.3.7.1
重写为
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解题步骤 4.3.7.1.1
使用 ,将 重写成
解题步骤 4.3.7.1.2
运用幂法则并将指数相乘,
解题步骤 4.3.7.1.3
组合
解题步骤 4.3.7.1.4
约去 的公因数。
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解题步骤 4.3.7.1.4.1
约去公因数。
解题步骤 4.3.7.1.4.2
重写表达式。
解题步骤 4.3.7.1.5
计算指数。
解题步骤 4.3.7.2
乘以矩阵中的每一个元素。
解题步骤 4.3.7.3
化简矩阵中的每一个元素。
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解题步骤 4.3.7.3.1
乘以
解题步骤 4.3.7.3.2
乘以
解题步骤 4.3.7.3.3
乘以
解题步骤 4.4
代入投影线。
解题步骤 4.5
化简。
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解题步骤 4.5.1
合并矢量的每一个分量。
解题步骤 4.5.2
中减去
解题步骤 4.5.3
写成具有公分母的分数。
解题步骤 4.5.4
在公分母上合并分子。
解题步骤 4.5.5
中减去
解题步骤 4.5.6
写成具有公分母的分数。
解题步骤 4.5.7
在公分母上合并分子。
解题步骤 4.5.8
中减去
解题步骤 5
求正交向量
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解题步骤 5.1
用公式求
解题步骤 5.2
代入 替换
解题步骤 5.3
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解题步骤 5.3.1
求点积。
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解题步骤 5.3.1.1
两个向量的乘积为其分量乘积之和。
解题步骤 5.3.1.2
化简。
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解题步骤 5.3.1.2.1
化简每一项。
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解题步骤 5.3.1.2.1.1
乘以
解题步骤 5.3.1.2.1.2
乘以
解题步骤 5.3.1.2.1.3
乘以
解题步骤 5.3.1.2.2
相加。
解题步骤 5.3.1.2.3
相加。
解题步骤 5.3.2
的范数。
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解题步骤 5.3.2.1
模是向量中每个元素的平方和的平方根。
解题步骤 5.3.2.2
化简。
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解题步骤 5.3.2.2.1
一的任意次幂都为一。
解题步骤 5.3.2.2.2
一的任意次幂都为一。
解题步骤 5.3.2.2.3
一的任意次幂都为一。
解题步骤 5.3.2.2.4
相加。
解题步骤 5.3.2.2.5
相加。
解题步骤 5.3.3
用投影线公式求 上的投影线。
解题步骤 5.3.4
代入 替换
解题步骤 5.3.5
代入 替换
解题步骤 5.3.6
代入 替换
解题步骤 5.3.7
化简右边。
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解题步骤 5.3.7.1
重写为
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解题步骤 5.3.7.1.1
使用 ,将 重写成
解题步骤 5.3.7.1.2
运用幂法则并将指数相乘,
解题步骤 5.3.7.1.3
组合
解题步骤 5.3.7.1.4
约去 的公因数。
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解题步骤 5.3.7.1.4.1
约去公因数。
解题步骤 5.3.7.1.4.2
重写表达式。
解题步骤 5.3.7.1.5
计算指数。
解题步骤 5.3.7.2
乘以矩阵中的每一个元素。
解题步骤 5.3.7.3
化简矩阵中的每一个元素。
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解题步骤 5.3.7.3.1
乘以
解题步骤 5.3.7.3.2
乘以
解题步骤 5.3.7.3.3
乘以
解题步骤 5.4
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解题步骤 5.4.1
求点积。
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解题步骤 5.4.1.1
两个向量的乘积为其分量乘积之和。
解题步骤 5.4.1.2
化简。
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解题步骤 5.4.1.2.1
化简每一项。
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解题步骤 5.4.1.2.1.1
乘以
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解题步骤 5.4.1.2.1.1.1
乘以
解题步骤 5.4.1.2.1.1.2
乘以
解题步骤 5.4.1.2.1.2
乘以
解题步骤 5.4.1.2.1.3
乘以
解题步骤 5.4.1.2.2
相加。
解题步骤 5.4.1.2.3
相加。
解题步骤 5.4.2
的范数。
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解题步骤 5.4.2.1
模是向量中每个元素的平方和的平方根。
解题步骤 5.4.2.2
化简。
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解题步骤 5.4.2.2.1
使用幂法则 分解指数。
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解题步骤 5.4.2.2.1.1
运用乘积法则。
解题步骤 5.4.2.2.1.2
运用乘积法则。
解题步骤 5.4.2.2.2
进行 次方运算。
解题步骤 5.4.2.2.3
乘以
解题步骤 5.4.2.2.4
进行 次方运算。
解题步骤 5.4.2.2.5
进行 次方运算。
解题步骤 5.4.2.2.6
运用乘积法则。
解题步骤 5.4.2.2.7
一的任意次幂都为一。
解题步骤 5.4.2.2.8
进行 次方运算。
解题步骤 5.4.2.2.9
运用乘积法则。
解题步骤 5.4.2.2.10
一的任意次幂都为一。
解题步骤 5.4.2.2.11
进行 次方运算。
解题步骤 5.4.2.2.12
在公分母上合并分子。
解题步骤 5.4.2.2.13
相加。
解题步骤 5.4.2.2.14
在公分母上合并分子。
解题步骤 5.4.2.2.15
相加。
解题步骤 5.4.2.2.16
约去 的公因数。
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解题步骤 5.4.2.2.16.1
中分解出因数
解题步骤 5.4.2.2.16.2
约去公因数。
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解题步骤 5.4.2.2.16.2.1
中分解出因数
解题步骤 5.4.2.2.16.2.2
约去公因数。
解题步骤 5.4.2.2.16.2.3
重写表达式。
解题步骤 5.4.2.2.17
重写为
解题步骤 5.4.2.2.18
乘以
解题步骤 5.4.2.2.19
合并和化简分母。
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解题步骤 5.4.2.2.19.1
乘以
解题步骤 5.4.2.2.19.2
进行 次方运算。
解题步骤 5.4.2.2.19.3
进行 次方运算。
解题步骤 5.4.2.2.19.4
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 5.4.2.2.19.5
相加。
解题步骤 5.4.2.2.19.6
重写为
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解题步骤 5.4.2.2.19.6.1
使用 ,将 重写成
解题步骤 5.4.2.2.19.6.2
运用幂法则并将指数相乘,
解题步骤 5.4.2.2.19.6.3
组合
解题步骤 5.4.2.2.19.6.4
约去 的公因数。
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解题步骤 5.4.2.2.19.6.4.1
约去公因数。
解题步骤 5.4.2.2.19.6.4.2
重写表达式。
解题步骤 5.4.2.2.19.6.5
计算指数。
解题步骤 5.4.2.2.20
化简分子。
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解题步骤 5.4.2.2.20.1
使用根数乘积法则进行合并。
解题步骤 5.4.2.2.20.2
乘以
解题步骤 5.4.3
用投影线公式求 上的投影线。
解题步骤 5.4.4
代入 替换
解题步骤 5.4.5
代入 替换
解题步骤 5.4.6
代入 替换
解题步骤 5.4.7
化简右边。
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解题步骤 5.4.7.1
化简分母。
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解题步骤 5.4.7.1.1
运用乘积法则。
解题步骤 5.4.7.1.2
重写为
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解题步骤 5.4.7.1.2.1
使用 ,将 重写成
解题步骤 5.4.7.1.2.2
运用幂法则并将指数相乘,
解题步骤 5.4.7.1.2.3
组合
解题步骤 5.4.7.1.2.4
约去 的公因数。
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解题步骤 5.4.7.1.2.4.1
约去公因数。
解题步骤 5.4.7.1.2.4.2
重写表达式。
解题步骤 5.4.7.1.2.5
计算指数。
解题步骤 5.4.7.1.3
进行 次方运算。
解题步骤 5.4.7.1.4
约去 的公因数。
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解题步骤 5.4.7.1.4.1
中分解出因数
解题步骤 5.4.7.1.4.2
约去公因数。
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解题步骤 5.4.7.1.4.2.1
中分解出因数
解题步骤 5.4.7.1.4.2.2
约去公因数。
解题步骤 5.4.7.1.4.2.3
重写表达式。
解题步骤 5.4.7.2
将分子乘以分母的倒数。
解题步骤 5.4.7.3
约去 的公因数。
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解题步骤 5.4.7.3.1
约去公因数。
解题步骤 5.4.7.3.2
重写表达式。
解题步骤 5.4.7.4
乘以矩阵中的每一个元素。
解题步骤 5.4.7.5
化简矩阵中的每一个元素。
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解题步骤 5.4.7.5.1
约去 的公因数。
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解题步骤 5.4.7.5.1.1
中前置负号移到分子中。
解题步骤 5.4.7.5.1.2
中分解出因数
解题步骤 5.4.7.5.1.3
约去公因数。
解题步骤 5.4.7.5.1.4
重写表达式。
解题步骤 5.4.7.5.2
将负号移到分数的前面。
解题步骤 5.4.7.5.3
乘以
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解题步骤 5.4.7.5.3.1
乘以
解题步骤 5.4.7.5.3.2
乘以
解题步骤 5.4.7.5.4
乘以
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解题步骤 5.4.7.5.4.1
乘以
解题步骤 5.4.7.5.4.2
乘以
解题步骤 5.5
代入投影线。
解题步骤 5.6
化简。
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解题步骤 5.6.1
合并矢量的每一个分量。
解题步骤 5.6.2
合并矢量的每一个分量。
解题步骤 5.6.3
乘以
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解题步骤 5.6.3.1
乘以
解题步骤 5.6.3.2
乘以
解题步骤 5.6.4
合并分数。
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解题步骤 5.6.4.1
在公分母上合并分子。
解题步骤 5.6.4.2
化简表达式。
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解题步骤 5.6.4.2.1
相加。
解题步骤 5.6.4.2.2
除以
解题步骤 5.6.5
乘以
解题步骤 5.6.6
中减去
解题步骤 5.6.7
要将 写成带有公分母的分数,请乘以
解题步骤 5.6.8
通过与 的合适因数相乘,将每一个表达式写成具有公分母 的形式。
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解题步骤 5.6.8.1
乘以
解题步骤 5.6.8.2
乘以
解题步骤 5.6.9
化简表达式。
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解题步骤 5.6.9.1
在公分母上合并分子。
解题步骤 5.6.9.2
中减去
解题步骤 5.6.10
约去 的公因数。
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解题步骤 5.6.10.1
中分解出因数
解题步骤 5.6.10.2
约去公因数。
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解题步骤 5.6.10.2.1
中分解出因数
解题步骤 5.6.10.2.2
约去公因数。
解题步骤 5.6.10.2.3
重写表达式。
解题步骤 5.6.11
将负号移到分数的前面。
解题步骤 5.6.12
求公分母。
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解题步骤 5.6.12.1
写成分母为 的分数。
解题步骤 5.6.12.2
乘以
解题步骤 5.6.12.3
乘以
解题步骤 5.6.12.4
乘以
解题步骤 5.6.12.5
乘以
解题步骤 5.6.12.6
重新排序 的因式。
解题步骤 5.6.12.7
乘以
解题步骤 5.6.13
在公分母上合并分子。
解题步骤 5.6.14
通过减去各数进行化简。
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解题步骤 5.6.14.1
中减去
解题步骤 5.6.14.2
中减去
解题步骤 5.6.15
约去 的公因数。
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解题步骤 5.6.15.1
中分解出因数
解题步骤 5.6.15.2
约去公因数。
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解题步骤 5.6.15.2.1
中分解出因数
解题步骤 5.6.15.2.2
约去公因数。
解题步骤 5.6.15.2.3
重写表达式。
解题步骤 6
通过将每个正交向量除以其范数来求标准正交底数。
解题步骤 7
求单位向量 ,其中
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解题步骤 7.1
要求出与向量 方向相同的单位向量,请除以范数
解题步骤 7.2
模是向量中每个元素的平方和的平方根。
解题步骤 7.3
化简。
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解题步骤 7.3.1
一的任意次幂都为一。
解题步骤 7.3.2
一的任意次幂都为一。
解题步骤 7.3.3
一的任意次幂都为一。
解题步骤 7.3.4
相加。
解题步骤 7.3.5
相加。
解题步骤 7.4
将向量除以其范数。
解题步骤 7.5
将向量中的每个元素除以
解题步骤 8
求单位向量 ,其中
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解题步骤 8.1
要求出与向量 方向相同的单位向量,请除以范数
解题步骤 8.2
模是向量中每个元素的平方和的平方根。
解题步骤 8.3
化简。
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解题步骤 8.3.1
使用幂法则 分解指数。
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解题步骤 8.3.1.1
运用乘积法则。
解题步骤 8.3.1.2
运用乘积法则。
解题步骤 8.3.2
进行 次方运算。
解题步骤 8.3.3
乘以
解题步骤 8.3.4
进行 次方运算。
解题步骤 8.3.5
进行 次方运算。
解题步骤 8.3.6
运用乘积法则。
解题步骤 8.3.7
一的任意次幂都为一。
解题步骤 8.3.8
进行 次方运算。
解题步骤 8.3.9
运用乘积法则。
解题步骤 8.3.10
一的任意次幂都为一。
解题步骤 8.3.11
进行 次方运算。
解题步骤 8.3.12
在公分母上合并分子。
解题步骤 8.3.13
相加。
解题步骤 8.3.14
在公分母上合并分子。
解题步骤 8.3.15
相加。
解题步骤 8.3.16
约去 的公因数。
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解题步骤 8.3.16.1
中分解出因数
解题步骤 8.3.16.2
约去公因数。
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解题步骤 8.3.16.2.1
中分解出因数
解题步骤 8.3.16.2.2
约去公因数。
解题步骤 8.3.16.2.3
重写表达式。
解题步骤 8.3.17
重写为
解题步骤 8.4
将向量除以其范数。
解题步骤 8.5
将向量中的每个元素除以
解题步骤 8.6
化简。
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解题步骤 8.6.1
将分子乘以分母的倒数。
解题步骤 8.6.2
乘以
解题步骤 8.6.3
移到 的左侧。
解题步骤 8.6.4
移到 的左侧。
解题步骤 8.6.5
将分子乘以分母的倒数。
解题步骤 8.6.6
乘以
解题步骤 8.6.7
将分子乘以分母的倒数。
解题步骤 8.6.8
乘以
解题步骤 9
求单位向量 ,其中
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解题步骤 9.1
要求出与向量 方向相同的单位向量,请除以范数
解题步骤 9.2
模是向量中每个元素的平方和的平方根。
解题步骤 9.3
化简。
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解题步骤 9.3.1
进行任意正数次方的运算均得到
解题步骤 9.3.2
使用幂法则 分解指数。
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解题步骤 9.3.2.1
运用乘积法则。
解题步骤 9.3.2.2
运用乘积法则。
解题步骤 9.3.3
进行 次方运算。
解题步骤 9.3.4
乘以
解题步骤 9.3.5
一的任意次幂都为一。
解题步骤 9.3.6
进行 次方运算。
解题步骤 9.3.7
运用乘积法则。
解题步骤 9.3.8
一的任意次幂都为一。
解题步骤 9.3.9
进行 次方运算。
解题步骤 9.3.10
相加。
解题步骤 9.3.11
在公分母上合并分子。
解题步骤 9.3.12
相加。
解题步骤 9.3.13
约去 的公因数。
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解题步骤 9.3.13.1
中分解出因数
解题步骤 9.3.13.2
约去公因数。
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解题步骤 9.3.13.2.1
中分解出因数
解题步骤 9.3.13.2.2
约去公因数。
解题步骤 9.3.13.2.3
重写表达式。
解题步骤 9.3.14
重写为
解题步骤 9.3.15
的任意次方根都是
解题步骤 9.4
将向量除以其范数。
解题步骤 9.5
将向量中的每个元素除以
解题步骤 9.6
化简。
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解题步骤 9.6.1
将分子乘以分母的倒数。
解题步骤 9.6.2
乘以
解题步骤 9.6.3
将分子乘以分母的倒数。
解题步骤 9.6.4
组合
解题步骤 9.6.5
将分子乘以分母的倒数。
解题步骤 9.6.6
组合
解题步骤 10
代入已知值。
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