微积分学示例

$y = x - x^{2} + 4 x^{4}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x - x^{2} + 4 x^{4})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

求微分。

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解题步骤 3.1.1

根据加法法则， $x - x^{2} + 4 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{4}]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{4}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$1 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{4}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$1 - (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x^{4}]$

解题步骤 3.2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$1 - 2 x + \frac{d}{d x} [4 x^{4}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$1 - 2 x + 4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$1 - 2 x + 4 (4 x^{3})$

解题步骤 3.3.3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$1 - 2 x + 16 x^{3}$

解题步骤 3.4

重新排序项。

$16 x^{3} - 2 x + 1$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 16 x^{3} - 2 x + 1$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = 16 x^{3} - 2 x + 1$

解题步骤 6

建立 $\frac{d y}{d x} = 0$ 然后对 $y$ 求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

使用有理根检验法因式分解 $16 x^{3} - 2 x + 1$ 。

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解题步骤 6.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

解题步骤 6.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.0625, \pm 0.5, \pm 0.125, \pm 0.25$

解题步骤 6.1.3

代入 $- 0.5$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 0.5$ 是多项式的根。

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解题步骤 6.1.3.1

将 $- 0.5$ 代入多项式。

$16 {(- 0.5)}^{3} - 2 \cdot - 0.5 + 1$

解题步骤 6.1.3.2

对 $- 0.5$ 进行 $3$ 次方运算。

$16 \cdot - 0.125 - 2 \cdot - 0.5 + 1$

解题步骤 6.1.3.3

将 $16$ 乘以 $- 0.125$ 。

$- 2 - 2 \cdot - 0.5 + 1$

解题步骤 6.1.3.4

将 $- 2$ 乘以 $- 0.5$ 。

$- 2 + 1 + 1$

解题步骤 6.1.3.5

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$- 1 + 1$

解题步骤 6.1.3.6

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$0$

解题步骤 6.1.4

因为 $- 0.5$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $2 x + 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{16 x^{3} - 2 x + 1}{2 x + 1}$

解题步骤 6.1.5

用 $16 x^{3} - 2 x + 1$ 除以 $2 x + 1$ 。

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解题步骤 6.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2 x$

$1$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

解题步骤 6.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $16 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

					$8 x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$

解题步骤 6.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$8 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$16 x^{3}$	+	$8 x^{2}$

解题步骤 6.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $16 x^{3} + 8 x^{2}$ 中的所有符号

				$8 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$

解题步骤 6.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$8 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

解题步骤 6.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$8 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$

解题步骤 6.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 8 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

				$8 x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$

解题步骤 6.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$8 x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$4 x$

解题步骤 6.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 8 x^{2} - 4 x$ 中的所有符号

				$8 x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$

解题步骤 6.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$8 x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$2 x$

解题步骤 6.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$8 x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$2 x$	+	$1$

解题步骤 6.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $2 x$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

				$8 x^{2}$	-	$4 x$	+	$1$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$2 x$	+	$1$

解题步骤 6.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$8 x^{2}$	-	$4 x$	+	$1$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$2 x$	+	$1$
							+	$2 x$	+	$1$

解题步骤 6.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x + 1$ 中的所有符号

				$8 x^{2}$	-	$4 x$	+	$1$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$2 x$	+	$1$
							-	$2 x$	-	$1$

解题步骤 6.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$8 x^{2}$	-	$4 x$	+	$1$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$2 x$	+	$1$
							-	$2 x$	-	$1$
										$0$

解题步骤 6.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$8 x^{2} - 4 x + 1$

解题步骤 6.1.6

将 $16 x^{3} - 2 x + 1$ 书写为因数的集合。

$(2 x + 1) (8 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

解题步骤 6.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 x + 1 = 0$

$8 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

解题步骤 6.3

将 $2 x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1

将 $2 x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 x + 1 = 0$

解题步骤 6.3.2

求解 $x$ 的 $2 x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 6.3.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 x = - 1$

解题步骤 6.3.2.2

将 $2 x = - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 6.3.2.2.1

将 $2 x = - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 6.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 6.3.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 6.3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1}{2}$

解题步骤 6.4

将 $8 x^{2} - 4 x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.4.1

将 $8 x^{2} - 4 x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$8 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

解题步骤 6.4.2

求解 $x$ 的 $8 x^{2} - 4 x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 6.4.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 6.4.2.2

将 $a = 8$ 、 $b = - 4$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (8 \cdot 1)}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6.4.2.3

化简。

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解题步骤 6.4.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 6.4.2.3.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 8 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6.4.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 8 \cdot 1$ 。

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解题步骤 6.4.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6.4.2.3.1.2.2

将 $- 32$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6.4.2.3.1.3

从 $16$ 中减去 $32$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6.4.2.3.1.4

将 $- 16$ 重写为 $- 1 (16)$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6.4.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (16)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6.4.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6.4.2.3.1.7

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6.4.2.3.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6.4.2.3.1.9

将 $4$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6.4.2.3.2

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{4 \pm 4 i}{16}$

解题步骤 6.4.2.3.3

化简 $\frac{4 \pm 4 i}{16}$ 。

$x = \frac{1 \pm i}{4}$

解题步骤 6.4.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 6.4.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 6.4.2.4.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 8 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6.4.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 8 \cdot 1$ 。

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解题步骤 6.4.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6.4.2.4.1.2.2

将 $- 32$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6.4.2.4.1.3

从 $16$ 中减去 $32$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6.4.2.4.1.4

将 $- 16$ 重写为 $- 1 (16)$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6.4.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (16)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6.4.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6.4.2.4.1.7

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6.4.2.4.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6.4.2.4.1.9

将 $4$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6.4.2.4.2

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{4 \pm 4 i}{16}$

解题步骤 6.4.2.4.3

化简 $\frac{4 \pm 4 i}{16}$ 。

$x = \frac{1 \pm i}{4}$

解题步骤 6.4.2.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{1 + i}{4}$

解题步骤 6.4.2.4.5

分解分数 $\frac{1 + i}{4}$ 成为两个分数。

$x = \frac{1}{4} + \frac{i}{4}$

解题步骤 6.4.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 6.4.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 6.4.2.5.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 8 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6.4.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 8 \cdot 1$ 。

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解题步骤 6.4.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6.4.2.5.1.2.2

将 $- 32$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6.4.2.5.1.3

从 $16$ 中减去 $32$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6.4.2.5.1.4

将 $- 16$ 重写为 $- 1 (16)$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6.4.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (16)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6.4.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6.4.2.5.1.7

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6.4.2.5.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6.4.2.5.1.9

将 $4$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6.4.2.5.2

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{4 \pm 4 i}{16}$

解题步骤 6.4.2.5.3

化简 $\frac{4 \pm 4 i}{16}$ 。

$x = \frac{1 \pm i}{4}$

解题步骤 6.4.2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{1 - i}{4}$

解题步骤 6.4.2.5.5

分解分数 $\frac{1 - i}{4}$ 成为两个分数。

$x = \frac{1}{4} + \frac{- i}{4}$

解题步骤 6.4.2.5.6

将负号移到分数的前面。

$x = \frac{1}{4} - \frac{i}{4}$

解题步骤 6.4.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{1}{4} + \frac{i}{4}, \frac{1}{4} - \frac{i}{4}$

解题步骤 6.5

最终解为使 $(2 x + 1) (8 x^{2} - 4 x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{4} + \frac{i}{4}, \frac{1}{4} - \frac{i}{4}$

解题步骤 7

求解 $y$ 。

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解题步骤 7.1

去掉圆括号。

$y = - \frac{1}{2} - {(- \frac{1}{2})}^{2} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

解题步骤 7.2

去掉圆括号。

$y = (- \frac{1}{2}) - {(- \frac{1}{2})}^{2} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

解题步骤 7.3

化简 $(- \frac{1}{2}) - {(- \frac{1}{2})}^{2} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$ 。

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解题步骤 7.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 7.3.1.1.1

对 $- \frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$y = - \frac{1}{2} - ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

解题步骤 7.3.1.1.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$y = - \frac{1}{2} - ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

解题步骤 7.3.1.2

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 7.3.1.2.1

移动 ${(- 1)}^{2}$ 。

$y = - \frac{1}{2} + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

解题步骤 7.3.1.2.2

将 ${(- 1)}^{2}$ 乘以 $- 1$ 。

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解题步骤 7.3.1.2.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = - \frac{1}{2} + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1^{2}}{2^{2}} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

解题步骤 7.3.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = - \frac{1}{2} + {(- 1)}^{2 + 1} \frac{1^{2}}{2^{2}} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

解题步骤 7.3.1.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$y = - \frac{1}{2} + {(- 1)}^{3} \frac{1^{2}}{2^{2}} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

解题步骤 7.3.1.3

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1^{2}}{2^{2}} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

解题步骤 7.3.1.4

一的任意次幂都为一。

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2^{2}} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

解题步骤 7.3.1.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

解题步骤 7.3.1.6

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 7.3.1.6.1

对 $- \frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 ({(- 1)}^{4} {(\frac{1}{2})}^{4})$

解题步骤 7.3.1.6.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 ({(- 1)}^{4} \frac{1^{4}}{2^{4}})$

解题步骤 7.3.1.7

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 (1 \frac{1^{4}}{2^{4}})$

解题步骤 7.3.1.8

将 $\frac{1^{4}}{2^{4}}$ 乘以 $1$ 。

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 \frac{1^{4}}{2^{4}}$

解题步骤 7.3.1.9

一的任意次幂都为一。

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 \frac{1}{2^{4}}$

解题步骤 7.3.1.10

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 (\frac{1}{16})$

解题步骤 7.3.1.11

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1.11.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 \frac{1}{4 (4)}$

解题步骤 7.3.1.11.2

约去公因数。

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 \frac{1}{4 \cdot 4}$

解题步骤 7.3.1.11.3

重写表达式。

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$

解题步骤 7.3.2

合并分数。

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解题步骤 7.3.2.1

在公分母上合并分子。

$y = \frac{- 1}{2} + \frac{- 1 + 1}{4}$

解题步骤 7.3.2.2

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$y = \frac{- 1}{2} + \frac{0}{4}$

解题步骤 7.3.3

化简每一项。

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解题步骤 7.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{1}{2} + \frac{0}{4}$

解题步骤 7.3.3.2

用 $0$ 除以 $4$ 。

$y = - \frac{1}{2} + 0$

解题步骤 7.3.4

将 $- \frac{1}{2}$ 和 $0$ 相加。

$y = - \frac{1}{2}$

解题步骤 8

计算得出的 $x$ 值不能包含虚分量。

$\frac{1}{4} + \frac{i}{4}$ 不是 x 的有效值

解题步骤 9

计算得出的 $x$ 值不能包含虚分量。

$\frac{1}{4} - \frac{i}{4}$ 不是 x 的有效值

解题步骤 10

求使 $\frac{d y}{d x} = 0$ 成立的点。

$(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$

解题步骤 11

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