Тригонометрия Примеры

$16 \sqrt{3} + 16 i$ , $n = 4$

Этап 1

Вычислим расстояние от $(a, b)$ до начала координат, используя формулу $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{{(16 \sqrt{3})}^{2} + 16^{2}}$

Этап 2

Упростим $\sqrt{{(16 \sqrt{3})}^{2} + 16^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило умножения к $16 \sqrt{3}$ .

$r = \sqrt{16^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 16^{2}}$

Этап 2.1.2

Возведем $16$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{256 {\sqrt{3}}^{2} + 16^{2}}$

Этап 2.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{256 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 16^{2}}$

Этап 2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{256 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 16^{2}}$

Этап 2.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$r = \sqrt{256 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 16^{2}}$

Этап 2.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$r = \sqrt{256 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 16^{2}}$

Этап 2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$r = \sqrt{256 \cdot 3^{1} + 16^{2}}$

Этап 2.2.5

Найдем экспоненту.

$r = \sqrt{256 \cdot 3 + 16^{2}}$

Этап 2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $256$ на $3$ .

$r = \sqrt{768 + 16^{2}}$

Этап 2.3.2

Возведем $16$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{768 + 256}$

Этап 2.3.3

Добавим $768$ и $256$ .

$r = \sqrt{1024}$

Этап 2.3.4

Перепишем $1024$ в виде $32^{2}$ .

$r = \sqrt{32^{2}}$

Этап 2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$r = 32$

Этап 3

Вычислим угол приведения $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{16}{16 \sqrt{3}} |)$

Этап 4

Упростим $\arctan (| \frac{16}{16 \sqrt{3}} |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Сократим общий множитель.

$θ̂ = \arctan (| \frac{16}{16 \sqrt{3}} |)$

Этап 4.1.2

Перепишем это выражение.

$θ̂ = \arctan (| \frac{1}{\sqrt{3}} |)$

Этап 4.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} |)$

Этап 4.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} |)$

Этап 4.3.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} |)$

Этап 4.3.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} |)$

Этап 4.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} |)$

Этап 4.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} |)$

Этап 4.3.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} |)$

Этап 4.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |)$

Этап 4.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} |)$

Этап 4.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} |)$

Этап 4.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{3^{1}} |)$

Этап 4.3.6.5

Найдем экспоненту.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{3} |)$

Этап 4.4

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ приблизительно равно $0.57735026$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$θ̂ = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Этап 4.5

Точное значение $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ : $\frac{π}{6}$ .

$θ̂ = \frac{π}{6}$

Этап 5

Точка расположена в первом квадранте, поскольку и $x$ , и $y$ принимают положительные значения. Квадранты обозначены в порядке против часовой стрелки, начиная с верхнего правого.

Квадрант $1$

Этап 6

$(a, b)$ находится в первом квадранте. $θ = θ̂$

$θ = \frac{π}{6}$

Этап 7

Используем формулу, чтобы найти корни комплексного числа.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Этап 8

Подставим $r$ , $n$ и $θ$ в формулу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим ${(32)}^{\frac{1}{4}}$ и $\frac{(\frac{π}{6}) + 2 π k}{4}$ .

$c i s \frac{{(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k)}{4}$

Этап 8.2

Объединим $c$ и $\frac{{(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k)}{4}$ .

$i s \frac{c ({(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k))}{4}$

Этап 8.3

Объединим $i$ и $\frac{c ({(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k))}{4}$ .

$s \frac{i (c ({(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k)))}{4}$

Этап 8.4

Объединим $s$ и $\frac{i (c ({(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k)))}{4}$ .

$\frac{s (i (c ({(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k))))}{4}$

Этап 8.5

Избавимся от скобок.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c (32^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k))))}{4}$

Этап 8.5.2

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c (32^{\frac{1}{4}} (\frac{π}{6} + 2 π k))))}{4}$

Этап 8.5.3

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c \cdot 32^{\frac{1}{4}} (\frac{π}{6} + 2 π k)))}{4}$

Этап 8.5.4

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c \cdot 32^{\frac{1}{4}}) (\frac{π}{6} + 2 π k))}{4}$

Этап 8.5.5

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c \cdot 32^{\frac{1}{4}} (\frac{π}{6} + 2 π k))}{4}$

Этап 8.5.6

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c \cdot 32^{\frac{1}{4}}) (\frac{π}{6} + 2 π k)}{4}$

Этап 8.5.7

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c) \cdot 32^{\frac{1}{4}} (\frac{π}{6} + 2 π k)}{4}$

Этап 8.5.8

Избавимся от скобок.

$\frac{s i c \cdot 32^{\frac{1}{4}} (\frac{π}{6} + 2 π k)}{4}$

Этап 9

Подставим $k = 0$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Избавимся от скобок.

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(\frac{π}{6}) + 2 π (0)}{4})$

Этап 9.2

Умножим $2 π (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $0$ на $2$ .

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 0 π}{4})$

Этап 9.2.2

Умножим $0$ на $π$ .

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 0}{4})$

Этап 9.3

Добавим $\frac{π}{6}$ и $0$ .

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6}}{4})$

Этап 9.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4})$

Этап 9.5

Умножим $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Умножим $\frac{π}{6}$ на $\frac{1}{4}$ .

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{π}{6 \cdot 4})$

Этап 9.5.2

Умножим $6$ на $4$ .

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{π}{24})$

Этап 10

Подставим $k = 1$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Избавимся от скобок.

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(\frac{π}{6}) + 2 π (1)}{4})$

Этап 10.2

Умножим $2$ на $1$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 2 π}{4})$

Этап 10.3

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 2 π \cdot \frac{6}{6}}{4})$

Этап 10.4

Объединим $2 π$ и $\frac{6}{6}$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 6}{6}}{4})$

Этап 10.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 2 π \cdot 6}{6}}{4})$

Этап 10.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Умножим $6$ на $2$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 12 π}{6}}{4})$

Этап 10.6.2

Добавим $π$ и $12 π$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{13 π}{6}}{4})$

Этап 10.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{13 π}{6} \cdot \frac{1}{4})$

Этап 10.8

Умножим $\frac{13 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.8.1

Умножим $\frac{13 π}{6}$ на $\frac{1}{4}$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{13 π}{6 \cdot 4})$

Этап 10.8.2

Умножим $6$ на $4$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{13 π}{24})$

Этап 11

Подставим $k = 2$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(\frac{π}{6}) + 2 π (2)}{4})$

Этап 11.2

Умножим $2$ на $2$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 4 π}{4})$

Этап 11.3

Чтобы записать $4 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 4 π \cdot \frac{6}{6}}{4})$

Этап 11.4

Объединим $4 π$ и $\frac{6}{6}$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + \frac{4 π \cdot 6}{6}}{4})$

Этап 11.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 4 π \cdot 6}{6}}{4})$

Этап 11.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.1

Умножим $6$ на $4$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 24 π}{6}}{4})$

Этап 11.6.2

Добавим $π$ и $24 π$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{25 π}{6}}{4})$

Этап 11.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{25 π}{6} \cdot \frac{1}{4})$

Этап 11.8

Умножим $\frac{25 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.8.1

Умножим $\frac{25 π}{6}$ на $\frac{1}{4}$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{25 π}{6 \cdot 4})$

Этап 11.8.2

Умножим $6$ на $4$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{25 π}{24})$

Этап 12

Подставим $k = 3$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Избавимся от скобок.

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(\frac{π}{6}) + 2 π (3)}{4})$

Этап 12.2

Умножим $3$ на $2$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 6 π}{4})$

Этап 12.3

Чтобы записать $6 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 6 π \cdot \frac{6}{6}}{4})$

Этап 12.4

Объединим $6 π$ и $\frac{6}{6}$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + \frac{6 π \cdot 6}{6}}{4})$

Этап 12.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 6 π \cdot 6}{6}}{4})$

Этап 12.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.6.1

Умножим $6$ на $6$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 36 π}{6}}{4})$

Этап 12.6.2

Добавим $π$ и $36 π$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{37 π}{6}}{4})$

Этап 12.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{37 π}{6} \cdot \frac{1}{4})$

Этап 12.8

Умножим $\frac{37 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.8.1

Умножим $\frac{37 π}{6}$ на $\frac{1}{4}$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{37 π}{6 \cdot 4})$

Этап 12.8.2

Умножим $6$ на $4$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{37 π}{24})$

Этап 13

Перечислим решения.

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{π}{24})$

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{13 π}{24})$

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{25 π}{24})$

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{37 π}{24})$

Введите СВОЮ задачу