Примеры

Нахождение ортонормированного базиса по методу Грэма — Шмидта
, ,
Этап 1
Назначим имя каждому вектору.
Этап 2
Первый ортогональный вектор — это первый вектор в данном множестве векторов.
Этап 3
Найдем другие ортогональные векторы по этой формуле.
Этап 4
Найдем ортогональный вектор .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Найдем по этой формуле.
Этап 4.2
Подставим вместо .
Этап 4.3
Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.1
Найдем скалярное произведение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.1.1
Скалярное произведение двух векторов ― это сумма произведений их компонентов.
Этап 4.3.1.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.1.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.1.2.1.1
Умножим на .
Этап 4.3.1.2.1.2
Умножим на .
Этап 4.3.1.2.1.3
Умножим на .
Этап 4.3.1.2.2
Добавим и .
Этап 4.3.1.2.3
Добавим и .
Этап 4.3.2
Найдем норму .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.2.1
Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.
Этап 4.3.2.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.2.2.1
Единица в любой степени равна единице.
Этап 4.3.2.2.2
Единица в любой степени равна единице.
Этап 4.3.2.2.3
Единица в любой степени равна единице.
Этап 4.3.2.2.4
Добавим и .
Этап 4.3.2.2.5
Добавим и .
Этап 4.3.3
Найдем проекцию на по формуле проекции.
Этап 4.3.4
Подставим вместо .
Этап 4.3.5
Подставим вместо .
Этап 4.3.6
Подставим вместо .
Этап 4.3.7
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.7.1
Перепишем в виде .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.7.1.1
С помощью запишем в виде .
Этап 4.3.7.1.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 4.3.7.1.3
Объединим и .
Этап 4.3.7.1.4
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.7.1.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 4.3.7.1.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 4.3.7.1.5
Найдем экспоненту.
Этап 4.3.7.2
Умножим на каждый элемент матрицы.
Этап 4.3.7.3
Упростим каждый элемент матрицы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.7.3.1
Умножим на .
Этап 4.3.7.3.2
Умножим на .
Этап 4.3.7.3.3
Умножим на .
Этап 4.4
Подставим проекцию.
Этап 4.5
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.5.1
Объединим каждый компонент векторов.
Этап 4.5.2
Вычтем из .
Этап 4.5.3
Запишем в виде дроби с общим знаменателем.
Этап 4.5.4
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.5.5
Вычтем из .
Этап 4.5.6
Запишем в виде дроби с общим знаменателем.
Этап 4.5.7
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.5.8
Вычтем из .
Этап 5
Найдем ортогональный вектор .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Найдем по этой формуле.
Этап 5.2
Подставим вместо .
Этап 5.3
Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.1
Найдем скалярное произведение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.1.1
Скалярное произведение двух векторов ― это сумма произведений их компонентов.
Этап 5.3.1.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.1.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.1.2.1.1
Умножим на .
Этап 5.3.1.2.1.2
Умножим на .
Этап 5.3.1.2.1.3
Умножим на .
Этап 5.3.1.2.2
Добавим и .
Этап 5.3.1.2.3
Добавим и .
Этап 5.3.2
Найдем норму .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.2.1
Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.
Этап 5.3.2.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.2.2.1
Единица в любой степени равна единице.
Этап 5.3.2.2.2
Единица в любой степени равна единице.
Этап 5.3.2.2.3
Единица в любой степени равна единице.
Этап 5.3.2.2.4
Добавим и .
Этап 5.3.2.2.5
Добавим и .
Этап 5.3.3
Найдем проекцию на по формуле проекции.
Этап 5.3.4
Подставим вместо .
Этап 5.3.5
Подставим вместо .
Этап 5.3.6
Подставим вместо .
Этап 5.3.7
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.7.1
Перепишем в виде .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.7.1.1
С помощью запишем в виде .
Этап 5.3.7.1.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 5.3.7.1.3
Объединим и .
Этап 5.3.7.1.4
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.7.1.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 5.3.7.1.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 5.3.7.1.5
Найдем экспоненту.
Этап 5.3.7.2
Умножим на каждый элемент матрицы.
Этап 5.3.7.3
Упростим каждый элемент матрицы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.7.3.1
Умножим на .
Этап 5.3.7.3.2
Умножим на .
Этап 5.3.7.3.3
Умножим на .
Этап 5.4
Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.4.1
Найдем скалярное произведение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.4.1.1
Скалярное произведение двух векторов ― это сумма произведений их компонентов.
Этап 5.4.1.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.4.1.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.4.1.2.1.1
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.4.1.2.1.1.1
Умножим на .
Этап 5.4.1.2.1.1.2
Умножим на .
Этап 5.4.1.2.1.2
Умножим на .
Этап 5.4.1.2.1.3
Умножим на .
Этап 5.4.1.2.2
Добавим и .
Этап 5.4.1.2.3
Добавим и .
Этап 5.4.2
Найдем норму .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.4.2.1
Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.
Этап 5.4.2.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.4.2.2.1
Применим правило степени для распределения показателей.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.4.2.2.1.1
Применим правило умножения к .
Этап 5.4.2.2.1.2
Применим правило умножения к .
Этап 5.4.2.2.2
Возведем в степень .
Этап 5.4.2.2.3
Умножим на .
Этап 5.4.2.2.4
Возведем в степень .
Этап 5.4.2.2.5
Возведем в степень .
Этап 5.4.2.2.6
Применим правило умножения к .
Этап 5.4.2.2.7
Единица в любой степени равна единице.
Этап 5.4.2.2.8
Возведем в степень .
Этап 5.4.2.2.9
Применим правило умножения к .
Этап 5.4.2.2.10
Единица в любой степени равна единице.
Этап 5.4.2.2.11
Возведем в степень .
Этап 5.4.2.2.12
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 5.4.2.2.13
Добавим и .
Этап 5.4.2.2.14
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 5.4.2.2.15
Добавим и .
Этап 5.4.2.2.16
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.4.2.2.16.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.4.2.2.16.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.4.2.2.16.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.4.2.2.16.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 5.4.2.2.16.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 5.4.2.2.17
Перепишем в виде .
Этап 5.4.2.2.18
Умножим на .
Этап 5.4.2.2.19
Объединим и упростим знаменатель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.4.2.2.19.1
Умножим на .
Этап 5.4.2.2.19.2
Возведем в степень .
Этап 5.4.2.2.19.3
Возведем в степень .
Этап 5.4.2.2.19.4
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 5.4.2.2.19.5
Добавим и .
Этап 5.4.2.2.19.6
Перепишем в виде .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.4.2.2.19.6.1
С помощью запишем в виде .
Этап 5.4.2.2.19.6.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 5.4.2.2.19.6.3
Объединим и .
Этап 5.4.2.2.19.6.4
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.4.2.2.19.6.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 5.4.2.2.19.6.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 5.4.2.2.19.6.5
Найдем экспоненту.
Этап 5.4.2.2.20
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.4.2.2.20.1
Объединим, используя правило умножения для радикалов.
Этап 5.4.2.2.20.2
Умножим на .
Этап 5.4.3
Найдем проекцию на по формуле проекции.
Этап 5.4.4
Подставим вместо .
Этап 5.4.5
Подставим вместо .
Этап 5.4.6
Подставим вместо .
Этап 5.4.7
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.4.7.1
Упростим знаменатель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.4.7.1.1
Применим правило умножения к .
Этап 5.4.7.1.2
Перепишем в виде .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.4.7.1.2.1
С помощью запишем в виде .
Этап 5.4.7.1.2.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 5.4.7.1.2.3
Объединим и .
Этап 5.4.7.1.2.4
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.4.7.1.2.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 5.4.7.1.2.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 5.4.7.1.2.5
Найдем экспоненту.
Этап 5.4.7.1.3
Возведем в степень .
Этап 5.4.7.1.4
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.4.7.1.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.4.7.1.4.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.4.7.1.4.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.4.7.1.4.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 5.4.7.1.4.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 5.4.7.2
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 5.4.7.3
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.4.7.3.1
Сократим общий множитель.
Этап 5.4.7.3.2
Перепишем это выражение.
Этап 5.4.7.4
Умножим на каждый элемент матрицы.
Этап 5.4.7.5
Упростим каждый элемент матрицы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.4.7.5.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.4.7.5.1.1
Перенесем стоящий впереди знак минуса в в числитель.
Этап 5.4.7.5.1.2
Вынесем множитель из .
Этап 5.4.7.5.1.3
Сократим общий множитель.
Этап 5.4.7.5.1.4
Перепишем это выражение.
Этап 5.4.7.5.2
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 5.4.7.5.3
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.4.7.5.3.1
Умножим на .
Этап 5.4.7.5.3.2
Умножим на .
Этап 5.4.7.5.4
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.4.7.5.4.1
Умножим на .
Этап 5.4.7.5.4.2
Умножим на .
Этап 5.5
Подставим проекции.
Этап 5.6
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.6.1
Объединим каждый компонент векторов.
Этап 5.6.2
Объединим каждый компонент векторов.
Этап 5.6.3
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.6.3.1
Умножим на .
Этап 5.6.3.2
Умножим на .
Этап 5.6.4
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.6.4.1
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 5.6.4.2
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.6.4.2.1
Добавим и .
Этап 5.6.4.2.2
Разделим на .
Этап 5.6.5
Умножим на .
Этап 5.6.6
Вычтем из .
Этап 5.6.7
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 5.6.8
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.6.8.1
Умножим на .
Этап 5.6.8.2
Умножим на .
Этап 5.6.9
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.6.9.1
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 5.6.9.2
Вычтем из .
Этап 5.6.10
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.6.10.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.6.10.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.6.10.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.6.10.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 5.6.10.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 5.6.11
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 5.6.12
Найдем общий знаменатель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.6.12.1
Запишем в виде дроби со знаменателем .
Этап 5.6.12.2
Умножим на .
Этап 5.6.12.3
Умножим на .
Этап 5.6.12.4
Умножим на .
Этап 5.6.12.5
Умножим на .
Этап 5.6.12.6
Изменим порядок множителей в .
Этап 5.6.12.7
Умножим на .
Этап 5.6.13
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 5.6.14
Упростим путем вычитания чисел.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.6.14.1
Вычтем из .
Этап 5.6.14.2
Вычтем из .
Этап 5.6.15
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.6.15.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.6.15.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.6.15.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.6.15.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 5.6.15.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 6
Найдем ортонормированный базис проекции, разделив ортогональный вектор на его норму.
Этап 7
Найдем единичный вектор , где .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1
Найдем единичный вектор в том же направлении, что и вектор , разделив его на норму .
Этап 7.2
Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.
Этап 7.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.3.1
Единица в любой степени равна единице.
Этап 7.3.2
Единица в любой степени равна единице.
Этап 7.3.3
Единица в любой степени равна единице.
Этап 7.3.4
Добавим и .
Этап 7.3.5
Добавим и .
Этап 7.4
Разделим вектор на его норму.
Этап 7.5
Разделим каждый элемент в векторе на .
Этап 8
Найдем единичный вектор , где .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.1
Найдем единичный вектор в том же направлении, что и вектор , разделив его на норму .
Этап 8.2
Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.
Этап 8.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.3.1
Применим правило степени для распределения показателей.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.3.1.1
Применим правило умножения к .
Этап 8.3.1.2
Применим правило умножения к .
Этап 8.3.2
Возведем в степень .
Этап 8.3.3
Умножим на .
Этап 8.3.4
Возведем в степень .
Этап 8.3.5
Возведем в степень .
Этап 8.3.6
Применим правило умножения к .
Этап 8.3.7
Единица в любой степени равна единице.
Этап 8.3.8
Возведем в степень .
Этап 8.3.9
Применим правило умножения к .
Этап 8.3.10
Единица в любой степени равна единице.
Этап 8.3.11
Возведем в степень .
Этап 8.3.12
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 8.3.13
Добавим и .
Этап 8.3.14
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 8.3.15
Добавим и .
Этап 8.3.16
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.3.16.1
Вынесем множитель из .
Этап 8.3.16.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.3.16.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 8.3.16.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 8.3.16.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 8.3.17
Перепишем в виде .
Этап 8.4
Разделим вектор на его норму.
Этап 8.5
Разделим каждый элемент в векторе на .
Этап 8.6
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 8.6.1
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 8.6.2
Умножим на .
Этап 8.6.3
Перенесем влево от .
Этап 8.6.4
Перенесем влево от .
Этап 8.6.5
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 8.6.6
Умножим на .
Этап 8.6.7
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 8.6.8
Умножим на .
Этап 9
Найдем единичный вектор , где .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.1
Найдем единичный вектор в том же направлении, что и вектор , разделив его на норму .
Этап 9.2
Норма ― это квадратный корень из суммы квадратов всех элементов вектора.
Этап 9.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.3.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 9.3.2
Применим правило степени для распределения показателей.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.3.2.1
Применим правило умножения к .
Этап 9.3.2.2
Применим правило умножения к .
Этап 9.3.3
Возведем в степень .
Этап 9.3.4
Умножим на .
Этап 9.3.5
Единица в любой степени равна единице.
Этап 9.3.6
Возведем в степень .
Этап 9.3.7
Применим правило умножения к .
Этап 9.3.8
Единица в любой степени равна единице.
Этап 9.3.9
Возведем в степень .
Этап 9.3.10
Добавим и .
Этап 9.3.11
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 9.3.12
Добавим и .
Этап 9.3.13
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.3.13.1
Вынесем множитель из .
Этап 9.3.13.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.3.13.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 9.3.13.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 9.3.13.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 9.3.14
Перепишем в виде .
Этап 9.3.15
Любой корень из равен .
Этап 9.4
Разделим вектор на его норму.
Этап 9.5
Разделим каждый элемент в векторе на .
Этап 9.6
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.6.1
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 9.6.2
Умножим на .
Этап 9.6.3
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 9.6.4
Объединим и .
Этап 9.6.5
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
Этап 9.6.6
Объединим и .
Этап 10
Подставим известные значения.
Введите СВОЮ задачу
Для Mathway требуются JavaScript и современный браузер.