Примеры
Этап 1
Преобразование определяет отображение из в . Для доказательства того, что преобразование является линейным, необходимо убедиться в сохранении при преобразовании умножения на константу, сложения и нулевого вектора.
S:
Этап 2
Сначала докажем, что преобразование сохраняет это свойство.
Этап 3
Создадим две матрицы для проверки сохранения свойства аддитивности для .
Этап 4
Сложим эти две матрицы.
Этап 5
Применим данное преобразование к вектору.
Этап 6
Этап 6.1
Перегруппируем .
Этап 6.2
Перегруппируем .
Этап 6.3
Перегруппируем .
Этап 7
Разобьем результат на две матрицы, сгруппировав переменные.
Этап 8
Свойство аддитивности преобразования сохраняется.
Этап 9
Чтобы преобразование было линейным, оно должно сохранять результат скалярного произведения.
Этап 10
Этап 10.1
Умножим на каждый элемент матрицы.
Этап 10.2
Применим данное преобразование к вектору.
Этап 10.3
Упростим каждый элемент матрицы.
Этап 10.3.1
Перегруппируем .
Этап 10.3.2
Перегруппируем .
Этап 10.3.3
Перегруппируем .
Этап 10.4
Разложим каждый элемент матрицы на множители.
Этап 10.4.1
Разложим элемент на множители, умножив на .
Этап 10.4.2
Разложим элемент на множители, умножив на .
Этап 10.4.3
Разложим элемент на множители, умножив на .
Этап 11
Второе свойство линейных преобразований сохраняется для этого преобразования.
Этап 12
Чтобы преобразование было линейным, нулевой вектор должен быть сохранен.
Этап 13
Применим данное преобразование к вектору.
Этап 14
Этап 14.1
Перегруппируем .
Этап 14.2
Перегруппируем .
Этап 14.3
Перегруппируем .
Этап 15
Нулевой вектор сохраняется при этом преобразовании.
Этап 16
Поскольку все три свойства линейных преобразований не выполняются, это преобразование не является линейным.
Линейное преобразование