Математический анализ Примеры Последовательности и ряды

Определить, является ли ряд расходящимся

$\sum_{0}^{\infty} \frac{2 n^{2} - n^{3}}{2 n^{3} + 5}$

Этап 1

Ряд расходится, если предел последовательности по мере приближения $n$ к $\infty$ не существует или не равен $0$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{2 n^{2} - n^{3}}{2 n^{3} + 5}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим числитель и знаменатель на $n$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $n^{3}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2 n^{2}}{n^{3}} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Этап 2.2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $n^{2}$ и $n^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Вынесем множитель $n^{2}$ из $2 n^{2}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{2} \cdot 2}{n^{3}} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $n^{2}$ из $n^{3}$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{2} \cdot 2}{n^{2} n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{2} \cdot 2}{n^{2} n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Этап 2.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Этап 2.2.1.2

Сократим общий множитель $n^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Этап 2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1 \cdot 1}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Этап 2.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $n^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1}{\frac{2 n^{3}}{n^{3}} + \frac{5}{n^{3}}}$

Этап 2.2.2.2

Разделим $2$ на $1$ .

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n} - 1}{2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Этап 2.2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $n$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} - 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Этап 2.2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} - lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Этап 2.2.5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$\frac{2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} - lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Этап 2.3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{n}$ стремится к $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Этап 2.4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $n$ к $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{lim_{n \to \infty} 2 + \frac{5}{n^{3}}}$

Этап 2.4.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $n$ к $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{lim_{n \to \infty} 2 + lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^{3}}}$

Этап 2.4.3

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $n$ к $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{2 + lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^{3}}}$

Этап 2.4.4

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $n$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{2 + 5 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}}$

Этап 2.5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{n^{3}}$ стремится к $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{2 + 5 \cdot 0}$

Этап 2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{2 + 5 \cdot 0}$

Этап 2.6.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0 - 1}{2 + 5 \cdot 0}$

Этап 2.6.1.3

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{- 1}{2 + 5 \cdot 0}$

Этап 2.6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{- 1}{2 + 0}$

Этап 2.6.2.2

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{- 1}{2}$

Этап 2.6.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2}$

Этап 3

Предел существует и не равен $0$ , поэтому ряд расходится.

Введите СВОЮ задачу