Математический анализ Примеры

$\int 6 {(2 x - 1)}^{- 3} d x$ , $u = 2 x - 1$

Этап 1

Пусть $u = 2 x - 1$ . Тогда $d u = 2 d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 2 x - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{3}{u^{3}} d u$

Этап 2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Этап 3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем $u^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$3 \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Этап 3.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Этап 3.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$3 \int u^{- 3} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{- 3}$ по $u$ имеет вид $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$3 (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Объединим $u^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$3 (- \frac{u^{- 2}}{2} + C)$

Этап 5.1.2

Перенесем $u^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- \frac{1}{2 u^{2}} + C)$

Этап 5.2

Упростим.

$3 (- \frac{1}{2 u^{2}}) + C$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Этап 5.3.2

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{2 u^{2}}$ .

$\frac{- 3}{2 u^{2}} + C$

Этап 5.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{2 u^{2}} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $2 x - 1$ .

$- \frac{3}{2 {(2 x - 1)}^{2}} + C$

Введите СВОЮ задачу