Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{2} 2 x^{2} + x d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{2} 2 x^{2} d x + \int_{1}^{2} x d x$

Этап 2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} x d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} x d x$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} x d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $2$ и в $1$ .

$2 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}$

Этап 6.2

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2}$ в $2$ и в $1$ .

$2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$2 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Этап 6.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$2 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Этап 6.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{8 - 1}{3} + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Этап 6.3.4

Вычтем $1$ из $8$ .

$2 (\frac{7}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Этап 6.3.5

Объединим $2$ и $\frac{7}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 7}{3} + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Этап 6.3.6

Умножим $2$ на $7$ .

$\frac{14}{3} + \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Этап 6.3.7

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{14}{3} + \frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Этап 6.3.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$\frac{14}{3} + \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Этап 6.3.9

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.9.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{14}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Этап 6.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{14}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Этап 6.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{14}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Этап 6.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{14}{3} + \frac{2}{1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Этап 6.3.9.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{14}{3} + 2 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Этап 6.3.10

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{14}{3} + 2 - \frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 6.3.11

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{14}{3} + 2 - \frac{1}{2}$

Этап 6.3.12

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{14}{3} + 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 6.3.13

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{14}{3} + \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 6.3.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{14}{3} + \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Этап 6.3.15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.15.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{14}{3} + \frac{4 - 1}{2}$

Этап 6.3.15.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$\frac{14}{3} + \frac{3}{2}$

Этап 6.3.16

Чтобы записать $\frac{14}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{14}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 6.3.17

Чтобы записать $\frac{3}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 6.3.18

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.18.1

Умножим $\frac{14}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{14 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 6.3.18.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{14 \cdot 2}{6} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 6.3.18.3

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14 \cdot 2}{6} + \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Этап 6.3.18.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{14 \cdot 2}{6} + \frac{3 \cdot 3}{6}$

Этап 6.3.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{14 \cdot 2 + 3 \cdot 3}{6}$

Этап 6.3.20

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.20.1

Умножим $14$ на $2$ .

$\frac{28 + 3 \cdot 3}{6}$

Этап 6.3.20.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{28 + 9}{6}$

Этап 6.3.20.3

Добавим $28$ и $9$ .

$\frac{37}{6}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{37}{6}$

Десятичная форма:

$6.1\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$6 \frac{1}{6}$

Этап 8

Введите СВОЮ задачу