Математический анализ Примеры

$3 y'' + y = 0$ , $y = \sin (k x)$

Этап 1

Найдем $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (k x))$

Этап 1.2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 1.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = k x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $k x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [k x]$

Этап 1.3.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [k x]$

Этап 1.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $k x$ .

$\cos (k x) \frac{d}{d x} [k x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Поскольку $k$ является константой относительно $x$ , производная $k x$ по $x$ равна $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (k x) (k \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (k x) (k \cdot 1)$

Этап 1.3.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.3.1

Умножим $k$ на $1$ .

$\cos (k x) k$

Этап 1.3.2.3.2

Изменим порядок множителей в $\cos (k x) k$ .

$k \cos (k x)$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = k \cos (k x)$

Этап 2

Найдем $y''$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим производную.

$y'' = \frac{d}{d x} [k \cos (k x)]$

Этап 2.2

Поскольку $k$ является константой относительно $x$ , производная $k \cos (k x)$ по $x$ равна $k \frac{d}{d x} [\cos (k x)]$ .

$y'' = k \frac{d}{d x} [\cos (k x)]$

Этап 2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $k x$ .

$y'' = k (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [k x])$

Этап 2.3.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$y'' = k (- \sin (u) \frac{d}{d x} [k x])$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $k x$ .

$y'' = k (- \sin (k x) \frac{d}{d x} [k x])$

Этап 2.4

Поскольку $k$ является константой относительно $x$ , производная $k x$ по $x$ равна $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = k (- \sin (k x) (k \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.5

Возведем $k$ в степень $1$ .

$y'' = k^{1} k (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.6

Возведем $k$ в степень $1$ .

$y'' = k^{1} k^{1} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y'' = k^{1 + 1} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$y'' = k^{2} (- \sin (k x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y'' = k^{2} (- \sin (k x) \cdot 1)$

Этап 2.10

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y'' = k^{2} (- \sin (k x))$

Этап 2.11

Изменим порядок множителей в $k^{2} (- \sin (k x))$ .

$y'' = - k^{2} \sin (k x)$

Этап 3

Подставим в заданное дифференциальное уравнение.

$3 (- k^{2} \sin (k x)) + y = 0$

Этап 4

Подставим $y$ вместо $\sin (k x)$ .

$3 (- k^{2} y) + y = 0$

Этап 5

Решим относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 k^{2} y + y = 0$

Этап 5.2

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$- 3 k^{2} y = - y$

Этап 5.3

Разделим каждый член $- 3 k^{2} y = - y$ на $- 3 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $- 3 k^{2} y = - y$ на $- 3 y$ .

$\frac{- 3 k^{2} y}{- 3 y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 k^{2} y}{- 3 y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{k^{2} y}{y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{k^{2} y}{y} = \frac{- y}{- 3 y}$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим $k^{2}$ на $1$ .

$k^{2} = \frac{- y}{- 3 y}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$k^{2} = \frac{- y}{- 3 y}$

Этап 5.3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$k^{2} = \frac{- 1}{- 3}$

Этап 5.3.3.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$k^{2} = \frac{1}{3}$

Этап 5.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$k = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Этап 5.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.5.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Этап 5.5.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$k = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.5.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 5.5.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 5.5.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 5.5.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 5.5.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 5.5.4.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.5.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.5.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.5.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.5.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 5.5.4.6.5

Найдем экспоненту.

$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 5.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 5.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$k = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 5.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$k = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Десятичная форма:

$k = 0.57735026 \dots, - 0.57735026 \dots$

Введите СВОЮ задачу