Математический анализ Примеры

$y = x^{\ln (x)}$

Этап 1

Пусть $y = f (x)$ , возьмем натуральный логарифм обеих частей $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{\ln (x)})$

Этап 2

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Развернем $\ln (x^{\ln (x)})$ , вынося $\ln (x)$ из логарифма.

$\ln (y) = \ln (x) \ln (x)$

Этап 2.2

Возведем $\ln (x)$ в степень $1$ .

$\ln (y) = \ln^{1} (x) \ln (x)$

Этап 2.3

Возведем $\ln (x)$ в степень $1$ .

$\ln (y) = \ln^{1} (x) \ln^{1} (x)$

Этап 2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (y) = {\ln (x)}^{1 + 1}$

Этап 2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\ln (y) = \ln^{2} (x)$

Этап 3

Продифференцируем выражение, используя цепное правило, учитывая, что $y$ — функция от $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем левую часть $\ln (y)$ , используя цепное правило.

$\frac{y'}{y} = \ln^{2} (x)$

Этап 3.2

Продифференцируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Дифференцируем $\ln^{2} (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 3.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{y'}{y} = 2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 3.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 3.2.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{1}{x}$

Этап 3.2.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $2$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} \ln (x)$

Этап 3.2.4.2

Объединим $\frac{2}{x}$ и $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2 \ln (x)}{x}$

Этап 3.2.5

Упростим $2 \ln (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

Этап 4

Изолируем $y'$ и заменим исходную функцию на $y$ в правой части.

$y' = \frac{\ln (x^{2})}{x} x^{\ln (x)}$

Этап 5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ и $x^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{\ln (x^{2}) x^{\ln (x)}}{x}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $x^{\ln (x)}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $x$ из $\ln (x^{2}) x^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x}$

Этап 5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x^{1}}$

Этап 5.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Этап 5.2.2.3

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Этап 5.2.2.4

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}}{1}$

Этап 5.2.2.5

Разделим $\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$ на $1$ .

$y' = \ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$

Этап 5.3

Изменим порядок множителей в $\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$ .

$y' = x^{\ln (x) - 1} \ln (x^{2})$

Введите СВОЮ задачу