Математический анализ Примеры

$y = x^{2} + 5 x - 7$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x - 7)$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 5 x - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 3.2.3

Умножим $5$ на $1$ .

$2 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 5 + 0$

Этап 3.3.2

Добавим $2 x + 5$ и $0$ .

$2 x + 5$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 2 x + 5$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x + 5$

Этап 6

Примем $\frac{d y}{d x} = 0$ , затем решим относительно $x$ через $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 5$

Этап 6.2

Разделим каждый член $2 x = - 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 6.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5}{2}$

Этап 7

Упростим ${(- \frac{5}{2})}^{2} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{5}{2}$ .

$y = {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$

Этап 7.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{5}{2}$ .

$y = {(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$

Этап 7.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$y = 1 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$

Этап 7.1.3

Умножим $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$y = \frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$

Этап 7.1.4

Возведем $5$ в степень $2$ .

$y = \frac{25}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$

Этап 7.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{25}{4} + 5 (- \frac{5}{2}) - 7$

Этап 7.1.6

Умножим $5 (- \frac{5}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.6.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$y = \frac{25}{4} - 5 (\frac{5}{2}) - 7$

Этап 7.1.6.2

Объединим $- 5$ и $\frac{5}{2}$ .

$y = \frac{25}{4} + \frac{- 5 \cdot 5}{2} - 7$

Этап 7.1.6.3

Умножим $- 5$ на $5$ .

$y = \frac{25}{4} + \frac{- 25}{2} - 7$

Этап 7.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} - 7$

Этап 7.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $\frac{25}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{25}{4} - (\frac{25}{2} \cdot \frac{2}{2}) - 7$

Этап 7.2.2

Умножим $\frac{25}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 7$

Этап 7.2.3

Запишем $- 7$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$y = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 7}{1}$

Этап 7.2.4

Умножим $\frac{- 7}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 7}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 7.2.5

Умножим $\frac{- 7}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 7 \cdot 4}{4}$

Этап 7.2.6

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{4} + \frac{- 7 \cdot 4}{4}$

Этап 7.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{25 - 25 \cdot 2 - 7 \cdot 4}{4}$

Этап 7.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим $- 25$ на $2$ .

$y = \frac{25 - 50 - 7 \cdot 4}{4}$

Этап 7.4.2

Умножим $- 7$ на $4$ .

$y = \frac{25 - 50 - 28}{4}$

Этап 7.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вычтем $50$ из $25$ .

$y = \frac{- 25 - 28}{4}$

Этап 7.5.2

Вычтем $28$ из $- 25$ .

$y = \frac{- 53}{4}$

Этап 7.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{53}{4}$

Этап 8

Найдем точки, в которых $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- \frac{5}{2}, - \frac{53}{4})$

Этап 9

Введите СВОЮ задачу