Математический анализ Примеры

$y = x - x^{2} + 4 x^{4}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x - x^{2} + 4 x^{4})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $x - x^{2} + 4 x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{4}]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{4}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{4}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$1 - (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x^{4}]$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$1 - 2 x + \frac{d}{d x} [4 x^{4}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{4}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$1 - 2 x + 4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$1 - 2 x + 4 (4 x^{3})$

Этап 3.3.3

Умножим $4$ на $4$ .

$1 - 2 x + 16 x^{3}$

Этап 3.4

Изменим порядок членов.

$16 x^{3} - 2 x + 1$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 16 x^{3} - 2 x + 1$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 16 x^{3} - 2 x + 1$

Этап 6

Примем $\frac{d y}{d x} = 0$ , затем решим относительно $x$ через $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разложим $16 x^{3} - 2 x + 1$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Этап 6.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.0625, \pm 0.5, \pm 0.125, \pm 0.25$

Этап 6.1.3

Подставим $- 0.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 0.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Подставим $- 0.5$ в многочлен.

$16 {(- 0.5)}^{3} - 2 \cdot - 0.5 + 1$

Этап 6.1.3.2

Возведем $- 0.5$ в степень $3$ .

$16 \cdot - 0.125 - 2 \cdot - 0.5 + 1$

Этап 6.1.3.3

Умножим $16$ на $- 0.125$ .

$- 2 - 2 \cdot - 0.5 + 1$

Этап 6.1.3.4

Умножим $- 2$ на $- 0.5$ .

$- 2 + 1 + 1$

Этап 6.1.3.5

Добавим $- 2$ и $1$ .

$- 1 + 1$

Этап 6.1.3.6

Добавим $- 1$ и $1$ .

$0$

Этап 6.1.4

Поскольку $- 0.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{16 x^{3} - 2 x + 1}{2 x + 1}$

Этап 6.1.5

Разделим $16 x^{3} - 2 x + 1$ на $2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$1$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

Этап 6.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $16 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$8 x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$

Этап 6.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$8 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$16 x^{3}$	+	$8 x^{2}$

Этап 6.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $16 x^{3} + 8 x^{2}$ .

				$8 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$

Этап 6.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$8 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Этап 6.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$8 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$

Этап 6.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 8 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$8 x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$

Этап 6.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$8 x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$4 x$

Этап 6.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 8 x^{2} - 4 x$ .

				$8 x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$

Этап 6.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$8 x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$2 x$

Этап 6.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$8 x^{2}$	-	$4 x$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$2 x$	+	$1$

Этап 6.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$8 x^{2}$	-	$4 x$	+	$1$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$2 x$	+	$1$

Этап 6.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$8 x^{2}$	-	$4 x$	+	$1$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$2 x$	+	$1$
							+	$2 x$	+	$1$

Этап 6.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x + 1$ .

				$8 x^{2}$	-	$4 x$	+	$1$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$2 x$	+	$1$
							-	$2 x$	-	$1$

Этап 6.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$8 x^{2}$	-	$4 x$	+	$1$
$2 x$	+	$1$		$16 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$16 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$2 x$	+	$1$
							-	$2 x$	-	$1$
										$0$

Этап 6.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$8 x^{2} - 4 x + 1$

Этап 6.1.6

Запишем $16 x^{3} - 2 x + 1$ в виде набора множителей.

$(2 x + 1) (8 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Этап 6.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$8 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Этап 6.3

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Этап 6.3.2

Решим $2 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1$

Этап 6.3.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 6.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 6.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 6.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 6.4

Приравняем $8 x^{2} - 4 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Приравняем $8 x^{2} - 4 x + 1$ к $0$ .

$8 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Этап 6.4.2

Решим $8 x^{2} - 4 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6.4.2.2

Подставим значения $a = 8$ , $b = - 4$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (8 \cdot 1)}}{2 \cdot 8}$

Этап 6.4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.3.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 8 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Этап 6.4.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 8 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Этап 6.4.2.3.1.2.2

Умножим $- 32$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot 8}$

Этап 6.4.2.3.1.3

Вычтем $32$ из $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 8}$

Этап 6.4.2.3.1.4

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 8}$

Этап 6.4.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (16)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

Этап 6.4.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

Этап 6.4.2.3.1.7

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 8}$

Этап 6.4.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 8}$

Этап 6.4.2.3.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2 \cdot 8}$

Этап 6.4.2.3.2

Умножим $2$ на $8$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{16}$

Этап 6.4.2.3.3

Упростим $\frac{4 \pm 4 i}{16}$ .

$x = \frac{1 \pm i}{4}$

Этап 6.4.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.4.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 8 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Этап 6.4.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 8 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Этап 6.4.2.4.1.2.2

Умножим $- 32$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot 8}$

Этап 6.4.2.4.1.3

Вычтем $32$ из $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 8}$

Этап 6.4.2.4.1.4

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 8}$

Этап 6.4.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (16)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

Этап 6.4.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

Этап 6.4.2.4.1.7

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 8}$

Этап 6.4.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 8}$

Этап 6.4.2.4.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2 \cdot 8}$

Этап 6.4.2.4.2

Умножим $2$ на $8$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{16}$

Этап 6.4.2.4.3

Упростим $\frac{4 \pm 4 i}{16}$ .

$x = \frac{1 \pm i}{4}$

Этап 6.4.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{1 + i}{4}$

Этап 6.4.2.4.5

Разобьем дробь $\frac{1 + i}{4}$ на две дроби.

$x = \frac{1}{4} + \frac{i}{4}$

Этап 6.4.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.5.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 8 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Этап 6.4.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 8 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $8$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Этап 6.4.2.5.1.2.2

Умножим $- 32$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot 8}$

Этап 6.4.2.5.1.3

Вычтем $32$ из $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 8}$

Этап 6.4.2.5.1.4

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 8}$

Этап 6.4.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (16)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

Этап 6.4.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 8}$

Этап 6.4.2.5.1.7

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 8}$

Этап 6.4.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 8}$

Этап 6.4.2.5.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{2 \cdot 8}$

Этап 6.4.2.5.2

Умножим $2$ на $8$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i}{16}$

Этап 6.4.2.5.3

Упростим $\frac{4 \pm 4 i}{16}$ .

$x = \frac{1 \pm i}{4}$

Этап 6.4.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{1 - i}{4}$

Этап 6.4.2.5.5

Разобьем дробь $\frac{1 - i}{4}$ на две дроби.

$x = \frac{1}{4} + \frac{- i}{4}$

Этап 6.4.2.5.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = \frac{1}{4} - \frac{i}{4}$

Этап 6.4.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1}{4} + \frac{i}{4}, \frac{1}{4} - \frac{i}{4}$

Этап 6.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x + 1) (8 x^{2} - 4 x + 1) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{4} + \frac{i}{4}, \frac{1}{4} - \frac{i}{4}$

Этап 7

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{1}{2} - {(- \frac{1}{2})}^{2} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Этап 7.2

Избавимся от скобок.

$y = (- \frac{1}{2}) - {(- \frac{1}{2})}^{2} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Этап 7.3

Упростим $(- \frac{1}{2}) - {(- \frac{1}{2})}^{2} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2} - ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Этап 7.3.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2} - ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Этап 7.3.1.2

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1

Перенесем ${(- 1)}^{2}$ .

$y = - \frac{1}{2} + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Этап 7.3.1.2.2

Умножим ${(- 1)}^{2}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$y = - \frac{1}{2} + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1^{2}}{2^{2}} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Этап 7.3.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = - \frac{1}{2} + {(- 1)}^{2 + 1} \frac{1^{2}}{2^{2}} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Этап 7.3.1.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$y = - \frac{1}{2} + {(- 1)}^{3} \frac{1^{2}}{2^{2}} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Этап 7.3.1.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1^{2}}{2^{2}} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Этап 7.3.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2^{2}} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Этап 7.3.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 {(- \frac{1}{2})}^{4}$

Этап 7.3.1.6

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.6.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 ({(- 1)}^{4} {(\frac{1}{2})}^{4})$

Этап 7.3.1.6.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 ({(- 1)}^{4} \frac{1^{4}}{2^{4}})$

Этап 7.3.1.7

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 (1 \frac{1^{4}}{2^{4}})$

Этап 7.3.1.8

Умножим $\frac{1^{4}}{2^{4}}$ на $1$ .

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 \frac{1^{4}}{2^{4}}$

Этап 7.3.1.9

Единица в любой степени равна единице.

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 \frac{1}{2^{4}}$

Этап 7.3.1.10

Возведем $2$ в степень $4$ .

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 (\frac{1}{16})$

Этап 7.3.1.11

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.11.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 \frac{1}{4 (4)}$

Этап 7.3.1.11.2

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + 4 \frac{1}{4 \cdot 4}$

Этап 7.3.1.11.3

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$

Этап 7.3.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- 1}{2} + \frac{- 1 + 1}{4}$

Этап 7.3.2.2

Добавим $- 1$ и $1$ .

$y = \frac{- 1}{2} + \frac{0}{4}$

Этап 7.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1}{2} + \frac{0}{4}$

Этап 7.3.3.2

Разделим $0$ на $4$ .

$y = - \frac{1}{2} + 0$

Этап 7.3.4

Добавим $- \frac{1}{2}$ и $0$ .

$y = - \frac{1}{2}$

Этап 8

Вычисленные значения $x$ не могут содержать мнимых компонентов.

$\frac{1}{4} + \frac{i}{4}$ — недопустимое значение для x

Этап 9

Вычисленные значения $x$ не могут содержать мнимых компонентов.

$\frac{1}{4} - \frac{i}{4}$ — недопустимое значение для x

Этап 10

Найдем точки, в которых $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$

Этап 11

Введите СВОЮ задачу