Математический анализ Примеры

$y = | x^{2} - x |$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (| x^{2} - x |)$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = | x |$ и $g (x) = x^{2} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - x$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Этап 3.1.2

Производная $| u |$ по $u$ равна $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - x$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 3.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x - \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x - 1 \cdot 1)$

Этап 3.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x - 1)$

Этап 3.2.5.2

Изменим порядок множителей в $\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} (2 x - 1)$ .

$(2 x - 1) \frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = (2 x - 1) (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |})$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (2 x - 1) (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |})$

Этап 6

Примем $\frac{d y}{d x} = 0$ , затем решим относительно $x$ через $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} = 0$

Этап 6.2

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 6.2.2

Решим $2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 6.2.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 6.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 6.2.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 6.3

Приравняем $\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Приравняем $\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}$ к $0$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} = 0$

Этап 6.3.2

Решим $\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Приравняем числитель к нулю.

$x^{2} - x = 0$

Этап 6.3.2.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x - x = 0$

Этап 6.3.2.2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 0$

Этап 6.3.2.2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$x (x - 1) = 0$

Этап 6.3.2.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 6.3.2.2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 6.3.2.2.4

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.4.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 6.3.2.2.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 6.3.2.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 1) = 0$ верно.

$x = 0, 1$

Этап 6.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x - 1) (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{2}, 0, 1$

Этап 6.5

Исключим решения, которые не делают $(2 x - 1) (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}) = 0$ истинным.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 7

Упростим $| {(\frac{1}{2})}^{2} - (\frac{1}{2}) |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$y = | \frac{1^{2}}{2^{2}} - (\frac{1}{2}) |$

Этап 7.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$y = | \frac{1}{2^{2}} - (\frac{1}{2}) |$

Этап 7.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = | \frac{1}{4} - \frac{1}{2} |$

Этап 7.2

Чтобы записать $- \frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = | \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} |$

Этап 7.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y = | \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} |$

Этап 7.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = | \frac{1}{4} - \frac{2}{4} |$

Этап 7.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = | \frac{1 - 2}{4} |$

Этап 7.5

Вычтем $2$ из $1$ .

$y = | \frac{- 1}{4} |$

Этап 7.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = | - \frac{1}{4} |$

Этап 7.7

$- \frac{1}{4}$ приблизительно равно $- 0.25$ . Это отрицательное число, поэтому обратим знак $- \frac{1}{4}$ и вычтем абсолютное значение.

$y = \frac{1}{4}$

Этап 8

Найдем точки, в которых $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$

Этап 9

Введите СВОЮ задачу