Математический анализ Примеры

$y = x^{4} - 8 x^{2}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{4} - 8 x^{2})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} - 8 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x^{2}$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{3} - 8 (2 x)$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $- 8$ .

$4 x^{3} - 16 x$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 4 x^{3} - 16 x$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 16 x$

Этап 6

Примем $\frac{d y}{d x} = 0$ , затем решим относительно $x$ через $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{3} - 16 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 16 x = 0$

Этап 6.1.1.2

Вынесем множитель $4 x$ из $- 16 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 4) = 0$

Этап 6.1.1.3

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (x^{2}) + 4 x (- 4)$ .

$4 x (x^{2} - 4) = 0$

Этап 6.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Этап 6.1.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$4 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Этап 6.1.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 x (x + 2) (x - 2) = 0$

Этап 6.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 6.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 6.4

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 6.4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 6.5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 6.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 6.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 x (x + 2) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 0, - 2, 2$

Этап 7

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Избавимся от скобок.

$y = 0^{4} - 8 {(0)}^{2}$

Этап 7.2

Избавимся от скобок.

$y = 0^{4} - 8 \cdot 0^{2}$

Этап 7.3

Упростим $0^{4} - 8 \cdot 0^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - 8 \cdot 0^{2}$

Этап 7.3.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 - 8 \cdot 0$

Этап 7.3.1.3

Умножим $- 8$ на $0$ .

$y = 0 + 0$

Этап 7.3.2

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0$

Этап 8

Упростим ${(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$y = 16 - 8 {(- 2)}^{2}$

Этап 8.1.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$y = 16 - 8 \cdot 4$

Этап 8.1.3

Умножим $- 8$ на $4$ .

$y = 16 - 32$

Этап 8.2

Вычтем $32$ из $16$ .

$y = - 16$

Этап 9

Найдем точки, в которых $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 0)$

$(- 2, - 16)$

$(2, - 16)$

Этап 10

Введите СВОЮ задачу