Математический анализ Примеры

$y = x^{2} + x$ , $y = x + 9$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{2} + x = x + 9$

Этап 1.2

Решим $x^{2} + x = x + 9$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + x - x = 9$

Этап 1.2.1.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} + x - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$x^{2} + 0 = 9$

Этап 1.2.1.2.2

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$x^{2} = 9$

Этап 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Этап 1.2.3

Упростим $\pm \sqrt{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Этап 1.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 3$

Этап 1.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3$

Этап 1.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3$

Этап 1.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3, - 3$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $3$ вместо $x$ .

$y = (3) + 9$

Этап 1.3.2

Подставим $3$ вместо $x$ в $y = (3) + 9$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 3 + 9$

Этап 1.3.2.2

Избавимся от скобок.

$y = (3) + 9$

Этап 1.3.2.3

Добавим $3$ и $9$ .

$y = 12$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $- 3$ вместо $x$ .

$y = (- 3) + 9$

Этап 1.4.2

Подставим $- 3$ вместо $x$ в $y = (- 3) + 9$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Избавимся от скобок.

$y = - 3 + 9$

Этап 1.4.2.2

Избавимся от скобок.

$y = (- 3) + 9$

Этап 1.4.2.3

Добавим $- 3$ и $9$ .

$y = 6$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(3, 12)$

$(- 3, 6)$

$(3, 12)$

$(- 3, 6)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 3}^{3} x + 9 d x - \int_{- 3}^{3} x^{2} + x d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 3}^{3} x + 9 - (x^{2} + x) d x$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{- 3}^{3} x + 9 - x^{2} - x d x$

Этап 3.3

Объединим противоположные члены в $x + 9 - x^{2} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$9 - x^{2} + 0$

Этап 3.3.2

Добавим $9 - x^{2}$ и $0$ .

$9 - x^{2}$

$\int_{- 3}^{3} 9 - x^{2} d x$

Этап 3.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 3}^{3} 9 d x + \int_{- 3}^{3} - x^{2} d x$

Этап 3.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$9 x]_{- 3}^{3} + \int_{- 3}^{3} - x^{2} d x$

Этап 3.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$9 x]_{- 3}^{3} - \int_{- 3}^{3} x^{2} d x$

Этап 3.7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$9 x]_{- 3}^{3} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{3})$

Этап 3.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$9 x]_{- 3}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3})$

Этап 3.8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Найдем значение $9 x$ в $3$ и в $- 3$ .

$(9 \cdot 3) - 9 \cdot - 3 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3})$

Этап 3.8.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $3$ и в $- 3$ .

$9 \cdot 3 - 9 \cdot - 3 - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.1

Умножим $9$ на $3$ .

$27 - 9 \cdot - 3 - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.2

Умножим $- 9$ на $- 3$ .

$27 + 27 - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.3

Добавим $27$ и $27$ .

$54 - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$54 - (\frac{27}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.5

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.5.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$54 - (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$54 - (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$54 - (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$54 - (\frac{9}{1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.5.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$54 - (9 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Этап 3.8.2.3.6

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$54 - (9 - \frac{- 27}{3})$

Этап 3.8.2.3.7

Сократим общий множитель $- 27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.7.1

Вынесем множитель $3$ из $- 27$ .

$54 - (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3})$

Этап 3.8.2.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$54 - (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)})$

Этап 3.8.2.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$54 - (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1})$

Этап 3.8.2.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$54 - (9 - \frac{- 9}{1})$

Этап 3.8.2.3.7.2.4

Разделим $- 9$ на $1$ .

$54 - (9 - - 9)$

Этап 3.8.2.3.8

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$54 - (9 + 9)$

Этап 3.8.2.3.9

Добавим $9$ и $9$ .

$54 - 1 \cdot 18$

Этап 3.8.2.3.10

Умножим $- 1$ на $18$ .

$54 - 18$

Этап 3.8.2.3.11

Вычтем $18$ из $54$ .

$36$

Этап 4

Введите СВОЮ задачу