Математический анализ Примеры

$y = x^{2} - 5 x$ , $y = 3 x$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{2} - 5 x = 3 x$

Этап 1.2

Решим $x^{2} - 5 x = 3 x$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вычтем $3 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 5 x - 3 x = 0$

Этап 1.2.1.2

Вычтем $3 x$ из $- 5 x$ .

$x^{2} - 8 x = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x - 8 x = 0$

Этап 1.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 8 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 8 = 0$

Этап 1.2.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 8$ .

$x (x - 8) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 8 = 0 + y = 3 x$

Этап 1.2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.5

Приравняем $x - 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x - 8$ к $0$ .

$x - 8 = 0$

Этап 1.2.5.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x = 8$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 8) = 0$ верно.

$x = 0, 8$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 3 (0)$

Этап 1.3.2

Умножим $3$ на $0$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $8$ вместо $x$ .

$y = 3 (8)$

Этап 1.4.2

Умножим $3$ на $8$ .

$y = 24$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

$(8, 24)$

$(0, 0)$

$(8, 24)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{8} 3 x d x - \int_{0}^{8} x^{2} - 5 x d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{8} 3 x - (x^{2} - 5 x) d x$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x - x^{2} - (- 5 x)$

Этап 3.2.2

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$3 x - x^{2} + 5 x$

$\int_{0}^{8} 3 x - x^{2} + 5 x d x$

Этап 3.3

Добавим $3 x$ и $5 x$ .

$\int_{0}^{8} - x^{2} + 8 x d x$

Этап 3.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{8} - x^{2} d x + \int_{0}^{8} 8 x d x$

Этап 3.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{0}^{8} x^{2} d x + \int_{0}^{8} 8 x d x$

Этап 3.6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{8}) + \int_{0}^{8} 8 x d x$

Этап 3.7

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{8}) + \int_{0}^{8} 8 x d x$

Этап 3.8

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{8}) + 8 \int_{0}^{8} x d x$

Этап 3.9

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{8}) + 8 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{8})$

Этап 3.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{8}) + 8 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{8})$

Этап 3.10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $8$ и в $0$ .

$- ((\frac{8^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 8 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{8})$

Этап 3.10.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $8$ и в $0$ .

$- (\frac{8^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 8 (\frac{8^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.1

Возведем $8$ в степень $3$ .

$- (\frac{512}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 8 (\frac{8^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- (\frac{512}{3} - \frac{0}{3}) + 8 (\frac{8^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.3

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$- (\frac{512}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 8 (\frac{8^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- (\frac{512}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 8 (\frac{8^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{512}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 8 (\frac{8^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{512}{3} - \frac{0}{1}) + 8 (\frac{8^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- (\frac{512}{3} - 0) + 8 (\frac{8^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- (\frac{512}{3} + 0) + 8 (\frac{8^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.5

Добавим $\frac{512}{3}$ и $0$ .

$- \frac{512}{3} + 8 (\frac{8^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.6

Возведем $8$ в степень $2$ .

$- \frac{512}{3} + 8 (\frac{64}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.7

Сократим общий множитель $64$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.7.1

Вынесем множитель $2$ из $64$ .

$- \frac{512}{3} + 8 (\frac{2 \cdot 32}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{512}{3} + 8 (\frac{2 \cdot 32}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{512}{3} + 8 (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{512}{3} + 8 (\frac{32}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.7.2.4

Разделим $32$ на $1$ .

$- \frac{512}{3} + 8 (32 - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 3.10.2.3.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{512}{3} + 8 (32 - \frac{0}{2})$

Этап 3.10.2.3.9

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.9.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- \frac{512}{3} + 8 (32 - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 3.10.2.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{512}{3} + 8 (32 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 3.10.2.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{512}{3} + 8 (32 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 3.10.2.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{512}{3} + 8 (32 - \frac{0}{1})$

Этап 3.10.2.3.9.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- \frac{512}{3} + 8 (32 - 0)$

Этап 3.10.2.3.10

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- \frac{512}{3} + 8 (32 + 0)$

Этап 3.10.2.3.11

Добавим $32$ и $0$ .

$- \frac{512}{3} + 8 \cdot 32$

Этап 3.10.2.3.12

Умножим $8$ на $32$ .

$- \frac{512}{3} + 256$

Этап 3.10.2.3.13

Чтобы записать $256$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{512}{3} + 256 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.10.2.3.14

Объединим $256$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{512}{3} + \frac{256 \cdot 3}{3}$

Этап 3.10.2.3.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 512 + 256 \cdot 3}{3}$

Этап 3.10.2.3.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.3.16.1

Умножим $256$ на $3$ .

$\frac{- 512 + 768}{3}$

Этап 3.10.2.3.16.2

Добавим $- 512$ и $768$ .

$\frac{256}{3}$

Этап 4

Введите СВОЮ задачу