Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 x^{3} - x^{4} + x + 5$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $4 x^{3} - x^{4} + x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{4}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$12 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$12 x^{2} - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.3.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$12 x^{2} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.4.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + 0$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Добавим $12 x^{2} - 4 x^{3} + 1$ и $0$ .

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1$

Этап 1.5.2

Изменим порядок членов.

$- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$

Этап 2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x \approx 3.02727941$

Этап 3

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 3.02727941) \cup (3.02727941, \infty)$

Этап 4

Подставим любое число такое, что $0$ , из интервала $(- \infty, 3.02727941)$ в первую производную $- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = - 4 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2} + 1$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = - 4 \cdot 0 + 12 {(0)}^{2} + 1$

Этап 4.2.1.2

Умножим $- 4$ на $0$ .

$f' (0) = 0 + 12 {(0)}^{2} + 1$

Этап 4.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = 0 + 12 \cdot 0 + 1$

Этап 4.2.1.4

Умножим $12$ на $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 1$

Этап 4.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f' (0) = 0 + 1$

Этап 4.2.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$f' (0) = 1$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 5

Подставим любое число такое, что $6$ , из интервала $(3.02727941, \infty)$ в первую производную $- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f' (6) = - 4 {(6)}^{3} + 12 {(6)}^{2} + 1$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $6$ в степень $3$ .

$f' (6) = - 4 \cdot 216 + 12 {(6)}^{2} + 1$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 4$ на $216$ .

$f' (6) = - 864 + 12 {(6)}^{2} + 1$

Этап 5.2.1.3

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f' (6) = - 864 + 12 \cdot 36 + 1$

Этап 5.2.1.4

Умножим $12$ на $36$ .

$f' (6) = - 864 + 432 + 1$

Этап 5.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Добавим $- 864$ и $432$ .

$f' (6) = - 432 + 1$

Этап 5.2.2.2

Добавим $- 432$ и $1$ .

$f' (6) = - 431$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 431$ .

$- 431$

Этап 6

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = 3.02727941$ , то в $x = 3.02727941$ имеется экстремальная точка.

Этап 7

Найдем y-координату $3.02727941$ , чтобы найти экстремальную точку.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем $f (3.02727941)$ , чтобы найти y-координату $3.02727941$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3.02727941$ .

$f (3.02727941) = 4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Этап 7.1.2

Упростим $4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Избавимся от скобок.

$4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Этап 7.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.2.1

Возведем $3.02727941$ в степень $3$ .

$4 \cdot 27.7432619 - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Этап 7.1.2.2.2

Умножим $4$ на $27.7432619$ .

$110.9730476 - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Этап 7.1.2.2.3

Возведем $3.02727941$ в степень $4$ .

$110.9730476 - 1 \cdot 83.98660555 + 3.02727941 + 5$

Этап 7.1.2.2.4

Умножим $- 1$ на $83.98660555$ .

$110.9730476 - 83.98660555 + 3.02727941 + 5$

Этап 7.1.2.3

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.3.1

Вычтем $83.98660555$ из $110.9730476$ .

$26.98644204 + 3.02727941 + 5$

Этап 7.1.2.3.2

Добавим $26.98644204$ и $3.02727941$ .

$30.01372146 + 5$

Этап 7.1.2.3.3

Добавим $30.01372146$ и $5$ .

$35.01372146$

Этап 7.2

Запишем координаты $x$ и $y$ как координаты точки.

$(3.02727941, 35.01372146)$

Этап 8

Введите СВОЮ задачу