Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{x}$ , $[2, 6]$

Этап 1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Этап 1.1.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Этап 2

Выясним, является ли производная непрерывной на $[2, 6]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы проверить непрерывность функции на промежутке $[2, 6]$ , найдем область определения $f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 2.1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 2.1.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.1.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 2.1.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 2.1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0}$

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0}$

Этап 2.2

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области $[2, 6]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 3

Функция является дифференцируемой на $[2, 6]$ , поскольку производная является непрерывной на $[2, 6]$ .

Функция является дифференцируемой.

Этап 4

Введите СВОЮ задачу