Алгебра Примеры

$(1, 2)$ , $(4, 2)$ , $(5, 2)$

Этап 1

Существует два общих уравнения эллипса.

Уравнение горизонтального эллипса: $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Уравнение вертикального эллипса $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 2

$a$ — расстояние между вершиной $(5, 2)$ и центральной точкой $(1, 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем формулу расстояния для определения расстояние между этими двумя точками.

$Расстояние = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Этап 2.2

Подставим фактические значения точек в формулу расстояния.

$a = \sqrt{{(5 - 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем $1$ из $5$ .

$a = \sqrt{4^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Этап 2.3.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$a = \sqrt{16 + {(2 - 2)}^{2}}$

Этап 2.3.3

Вычтем $2$ из $2$ .

$a = \sqrt{16 + 0^{2}}$

Этап 2.3.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$a = \sqrt{16 + 0}$

Этап 2.3.5

Добавим $16$ и $0$ .

$a = \sqrt{16}$

Этап 2.3.6

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$a = \sqrt{4^{2}}$

Этап 2.3.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$a = 4$

Этап 3

$c$ — расстояние между фокусом $(4, 2)$ и центром $(1, 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем формулу расстояния для определения расстояние между этими двумя точками.

$Расстояние = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Этап 3.2

Подставим фактические значения точек в формулу расстояния.

$c = \sqrt{{(4 - 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем $1$ из $4$ .

$c = \sqrt{3^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$c = \sqrt{9 + {(2 - 2)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Вычтем $2$ из $2$ .

$c = \sqrt{9 + 0^{2}}$

Этап 3.3.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$c = \sqrt{9 + 0}$

Этап 3.3.5

Добавим $9$ и $0$ .

$c = \sqrt{9}$

Этап 3.3.6

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$c = \sqrt{3^{2}}$

Этап 3.3.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$c = 3$

Этап 4

Использование уравнения $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ . Подставим $4$ вместо $a$ , а $3$ вместо $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде ${(4)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$ .

${(4)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$

Этап 4.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$16 - b^{2} = 3^{2}$

Этап 4.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$16 - b^{2} = 9$

Этап 4.4

Перенесем все члены без $b$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$- b^{2} = 9 - 16$

Этап 4.4.2

Вычтем $16$ из $9$ .

$- b^{2} = - 7$

Этап 4.5

Разделим каждый член $- b^{2} = - 7$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Разделим каждый член $- b^{2} = - 7$ на $- 1$ .

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Этап 4.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Этап 4.5.2.2

Разделим $b^{2}$ на $1$ .

$b^{2} = \frac{- 7}{- 1}$

Этап 4.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1

Разделим $- 7$ на $- 1$ .

$b^{2} = 7$

Этап 4.6

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$b = \pm \sqrt{7}$

Этап 4.7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$b = \sqrt{7}$

Этап 4.7.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$b = - \sqrt{7}$

Этап 4.7.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$b = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Этап 5

$b$ — это расстояние, т. е. должно быть положительным числом.

$b = \sqrt{7}$

Этап 6

Угловой коэффициент прямой, проходящей через фокус $(4, 2)$ и центр $(1, 2)$ определяет, является ли эллипс вертикальным или горизонтальным. Если угловой коэффициент равен $0$ , график является горизонтальным. Если угловой коэффициент не определен, график является вертикальным.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Угловой коэффициент равен отношению изменения $y$ к изменению $x$ или отношению приращения функции к приращению аргумента.

$m = \frac{изменение по y}{изменение по x}$

Этап 6.2

Изменение в $x$ равно разности координат x (также называется разностью абсцисс), а изменение в $y$ равно разности координат y (также называется разностью ординат).

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Этап 6.3

Подставим значения $x$ и $y$ в уравнение, чтобы найти угловой коэффициент.

$m = \frac{2 - (2)}{1 - (4)}$

Этап 6.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$m = \frac{2 - 2}{1 - (4)}$

Этап 6.4.1.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$m = \frac{0}{1 - (4)}$

Этап 6.4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$m = \frac{0}{1 - 4}$

Этап 6.4.2.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$m = \frac{0}{- 3}$

Этап 6.4.3

Разделим $0$ на $- 3$ .

$m = 0$

Этап 6.5

Общее уравнение горизонтального эллипса: $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 7

Подставим значения $h = 1$ , $k = 2$ , $a = 4$ и $b = \sqrt{7}$ в $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ , чтобы получить уравнение эллипса $\frac{{(x - (1))}^{2}}{{(4)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - (1))}^{2}}{{(4)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

Этап 8

Упростим, чтобы получить окончательное уравнение эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

Этап 8.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

Этап 8.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{\sqrt{7}}^{2}} = 1$

Этап 8.4

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Этап 8.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Этап 8.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Этап 8.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Этап 8.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7} = 1$

Этап 8.4.5

Найдем экспоненту.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7} = 1$

Этап 9

Введите СВОЮ задачу