Основы мат. анализа Примеры

$135$ , $45$ , $15$

Этап 1

Это геометрическая прогрессия, так как между соседними членами существует общий знаменатель. В данном случае умножение предыдущего члена прогрессии на $\frac{1}{3}$ дает следующий член. Другими словами, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Геометрическая прогрессия: $r = \frac{1}{3}$

Этап 2

Это формула геометрической прогрессии.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Этап 3

Подставим в значения $a_{1} = 135$ и $r = \frac{1}{3}$ .

$a_{n} = 135 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Этап 4

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$a_{n} = 135 \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Этап 5

Единица в любой степени равна единице.

$a_{n} = 135 \frac{1}{3^{n - 1}}$

Этап 6

Объединим $135$ и $\frac{1}{3^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{135}{3^{n - 1}}$

Этап 7

Это формула для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии. Для ее вычисления найдем значения $r$ и $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Этап 8

Заменим переменные известными величинами, чтобы найти $S_{5}$ .

$S_{5} = 135 \cdot \frac{{(\frac{1}{3})}^{5} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1^{5}}{3^{5}} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 9.2

Единица в любой степени равна единице.

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1}{3^{5}} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 9.3

Возведем $3$ в степень $5$ .

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1}{243} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 9.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{243}{243}$ .

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1}{243} - 1 \cdot \frac{243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 9.5

Объединим $- 1$ и $\frac{243}{243}$ .

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1}{243} + \frac{- 1 \cdot 243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 9.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1 - 1 \cdot 243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 9.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.1

Умножим $- 1$ на $243$ .

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{1 - 243}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 9.7.2

Вычтем $243$ из $1$ .

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{- 242}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 9.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Этап 10

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Этап 10.2

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Этап 10.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Этап 10.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{1 - 3}{3}}$

Этап 10.4.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{\frac{- 2}{3}}$

Этап 10.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$S_{5} = 135 \cdot \frac{- \frac{242}{243}}{- \frac{2}{3}}$

Этап 11

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$S_{5} = 135 \cdot \frac{\frac{242}{243}}{\frac{2}{3}}$

Этап 12

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{242}{243} \cdot \frac{3}{2})$

Этап 13

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Вынесем множитель $2$ из $242$ .

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{2 (121)}{243} \cdot \frac{3}{2})$

Этап 13.2

Сократим общий множитель.

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{2 \cdot 121}{243} \cdot \frac{3}{2})$

Этап 13.3

Перепишем это выражение.

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{121}{243} \cdot 3)$

Этап 14

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Вынесем множитель $3$ из $243$ .

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{121}{3 (81)} \cdot 3)$

Этап 14.2

Сократим общий множитель.

$S_{5} = 135 \cdot (\frac{121}{3 \cdot 81} \cdot 3)$

Этап 14.3

Перепишем это выражение.

$S_{5} = 135 \cdot \frac{121}{81}$

Этап 15

Сократим общий множитель $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Вынесем множитель $27$ из $135$ .

$S_{5} = 27 (5) \cdot \frac{121}{81}$

Этап 15.2

Вынесем множитель $27$ из $81$ .

$S_{5} = 27 \cdot 5 \cdot \frac{121}{27 \cdot 3}$

Этап 15.3

Сократим общий множитель.

$S_{5} = 27 \cdot 5 \cdot \frac{121}{27 \cdot 3}$

Этап 15.4

Перепишем это выражение.

$S_{5} = 5 \cdot \frac{121}{3}$

Этап 16

Объединим $5$ и $\frac{121}{3}$ .

$S_{5} = \frac{5 \cdot 121}{3}$

Этап 17

Умножим $5$ на $121$ .

$S_{5} = \frac{605}{3}$

Этап 18

Преобразуем дробь в десятичное число.

$S_{5} = 201.\overline{6}$

Введите СВОЮ задачу